Derslerle Alakalı görüşlerinizi veya eksik olarak gördüğünüz derslerin eklenmesi talebinizi aşağıdaki yorum alanını kullanarak bize iletebilirsiniz.

Ayrıca Yazılı Konu Anlatımı Verilmemiş Konulardaki Yazılı Anlatım Videolu Konu Anlatımların Altındadır. Bazı Yazılı anlatımlar uzun olduğundan farklı sayfa verilme gereği duyulmuştur.

Derslerle Alakalı görüşlerinizi veya eksik olarak gördüğünüz derslerin eklenmesi talebinizi aşağıdaki yorum alanını kullanarak bize iletebilirsiniz.
LYS MATEMATİK SINAVINDA DİKKAT EDİLMESİ GEREKEN NOKTALAR
Matematik testi, sayısal ve eşit ağırlık tercihi yapacak adaylar için mutlak anlamda yapılması gereken bir test.  Birçok öğrencinin korkulu rüyası olan matematik,  yıllardır öğrencilerin ”en fazla sıkıntı çektiği alan” olma konusunda bir numaralı yerini koruyor.

Lys matematik soruları 12.sınıf ağırlıklı

Geçtiğimiz yıllarda olduğu gibi bu yıl da 12. Sınıf konuları (limit, türev, integral) ağırlığını hissettirebilir. Bu konularla ilgili yapılabilecek en verimli iş geçtiğimiz 3-4 yılın sorularını yeniden çözmek olmalıdır.

Geçtiğimiz 3 yılın LYS Matematik testlerindeki soru dağılımında benzerlik gözlenmektedir. Buna göre soruları % 15 i 9. sınıf konularından , % 25 i 10. sınıf konularından, % 20 si 11. sınıf konularından, % 40 ı 12. sınıf konularından gelmiştir. Bu yıl da soruların benzerlik göstereceği düşünülmektedir. 2013- LYS’de özellikle trigonometri, karmaşık sayılar, logaritma, determinant – matris, limit ve süreklilik, türev ve uygulamaları, integral ve uygulamaları banko soru gelecek konulardan olmaktadır.

Ayrıntılara dikkat: Matematik testinde bir konuyla ilgili çok farklı türlerde soru sorulabilir. Aynı şekilde bir sorunun çok farklı çözüm yolları da olabilir. LYS’de soruları yanlış yapma ihtimalini en aza indirgemek için konularla ilgili mümkün olduğunca çok ve farklı tarzda sorular çözmek gerekir.  Öğrenciler genellikle kolay gibi gözüken aslında dikkat gerektiren soruları çok hızlı çözerken ayrıntıyı kaçırıyor ve bu da sorunun yanlış çözülmesine neden oluyor. Öğrenci özellikle çok alışılmadık kalıplarda soru ile karşılaştığı zaman sıkıntı yaşıyor. Matematik sorularındaki hiçbir veri gereksiz değildir. Her veri, sorunun çözümünde gerekli olacak ipuçlarıdır. Sorularda her ayrıntıya dikkat etmek gerekir. Matematik soruları; sayılar yardımıyla problem çözebilme, matematiksel ilişkilerden yararlanabilme ve düşünme yeteneğini geliştirme niteliklerine sahiptir. Adaylar sorunun ne anlama geldiğini kavramak için dikkatli bir şekilde, gerekirse altını çizerek soruyu okumalı, önce çok iyi anlamalı ve çözümü yaparken işlem hatası yapmamalı. İşlemin bitiminde mutlaka çözüm kontrol edilmeli.
Bunlara dikkat edin:
a) Konu eksikliklerini erken bitirip test ve deneme sınavlarının çözümüne geçin
b) Eksik olduğunuz konuları belirleyerek eksikliklerinizi telafi edici bir çalışma programı hazırlayın
c) Çok sayıda soru çözün
d) Zorlandığınız konuları belirleyerek mutlaka bir destekle giderin
e) Haftada en az bir deneme sınavı çözün

Derslerle Alakalı görüşlerinizi veya eksik olarak gördüğünüz derslerin eklenmesi talebinizi aşağıdaki yorum alanını kullanarak bize iletebilirsiniz.

Matematik İntegral Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

İntegral konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. İntegral konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

İntegral konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de İntegral formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(İntegral Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik İntegral Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Türev Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Yazılı

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…

TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = √-1  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  √-1 = i } dir.

( i = √-1   Þ i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z₁ = 3 + 4i,  Z₂ = 2 – 3i,  Z₃ = √-1  + i, Z₄ = 7, Z₅ = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z₁ karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z₂ = 2 – 3i      Þ     Re(Z₂) = 2 ve İm(Z₂) = -3,

Z₃ =  √-1 + i    Þ    Re(Z₃) = √-1  ve İm(Z₃) = 1,

Z₄ =  7    Þ     Re(Z₄) = 7 ve İm(Z₄) = 0,

Z₅ = 10i     Þ     Re(Z₅) = 0 ve İm(Z₅) = 10 dur.

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve      ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı vex, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

A. i NİN KUVVETLERİ

olmak üzere,

i⁰ = 1 dir.

i¹ = i dir.

i² = –1 dir.

i³ = i² × i¹ = (–1) × i = –i dir.

i⁴ = i² × i² = (–1) × (–1) = 1 dir.

i⁵ = i⁴ × i¹ = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve  olmak üzere, z = a + bişeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.Karmaşık sayılar kümesi  ile gösterilir. Buna göre, z = a + bi karmaşık sayısında;a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.z = a + bi iseRe(z) = aİm(z) = bşeklinde gösterilir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir.

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i² = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir.

Buna göre,

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

Kural

Örnek:

1) Z₁ = 4 + 3i sayısının eşleniği Z₁ = 4 – 3i,

2) Z₂ = √2 – √3i sayısının eşleniği Z₂ = √2 + √3i,

3) Z₃ = -7i sayısının eşleniği Z₃ = 7i,

4) Z₄ = 12 sayısının eşleniği Z₄ = 12,

5) Z₅ = √3 – √2 sayısının eşleniği Z₅ = √3 – √2 dir.

Örnek: Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm: 3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

1. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
2. Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,dir.

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d) dir

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

z-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d) dir

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

z.w=a.c+a.di+b.ci+b.di²  , (i²=-1)

a.c+a.di+b.ci-b.d

(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

Kural

4. Bölme İşlemi

z₁ × (z₂)^–1 sayısına z₁ in z₂ ye bölümü denir ve Z₁/Z₂ biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z₁ = a + bi ve z₂ = c + di ise,

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z₁ ve z₂ birer karmaşık sayı olmak üzere,

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

|z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

Kural

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i² = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de  esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

Sonuç

Tanım

Kural

olmak üzere,Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda, arg(z . w) = arg(z) + arg (w)

Kural

olmak üzere,Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda, arg(z : w) = arg(z) – arg (w)

Kural

Sonuç

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

Sonuç

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = qkoşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r ×cis(q + a) olur. Bu durum,

v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

Uyarı

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zⁿ = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

Sonuç

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Logaritma Konu Anlatımı Yazılı

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

Bir sayının, taban denilen bir sayıya göre logaritması; tabanın o sayıya ulaşmak için ne kadar kuvveti alınması gerektiğini gösteren sayıdır. Örneğin 1000 sayısının 10 tabanına göre logaritması 3’tür: Çünkü 10’u 3 kez kendisiyle çarparak 1000’e ulaşılır.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

dir.

y = log_ax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

1) log₂ 8 = y   =>   8= 2^y    =>    y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3   =>    64 = a³    =>    a = 4 tür.

3) log_a a = x   =>    a = a^x    =>    x = 1 dir.

4) log_a 1 = n   =>    1 = aⁿ    =>    n = 0 dır.

5) log₅ (-25) v= m   =>    -25 = 5^m    =>    m elamanı değil R dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0   =>     log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1   =>     log₂ x = 3¹    =>     x = 2³ = 8 dir.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

Kural

Kural

Kural

Kural

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU (Bayağı Logaritma )

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir. ve ayrıca Bayağı Logaritma diyede adlandırılır

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir. 0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

F.LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR⁺-{1} ve xR⁺ olmak üzere,

f(x) = log_a x        f ^-1 (x) = a^x      tir.

Örnek:

f(x) = log₅x    f ^–1 (x) = 5^x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2log₅ x        x = 2.log₅ f ^–1 (x)

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem, logaf(x) = b ise f(x) = ab dir. logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0         log₂ (x-1) > 3⁰ = 1

x-1 > 2¹

x > 3 tür.

Örnek:

log₂(x-3)<4         0 < x-3 <2⁴

3<x<19 dur.

Örnek:

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

grafikleri elde edilir. Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonların tersi olduğuna göre logaritma fonksiyonu da birebir ve örten fonksiyondur; çünkü logaritma fonksiyonunun tersi de üstel bir fonksiyondur. O halde, logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi tanım kümesindeki bütün elemanlar için ya artan ya da azanaln bir eğilim gösterir. Bir fonksiyonun ile bu fonksiyonunun ters fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetrik olalcağını biliyoruz.
O halde, y=log_ax fonksiyonunun grafiği y=a^x fonksiyonunun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetiği olan grafiktir.

Not:

y = log_a (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x₀ ve x₁ değerleri bulunur. Grafik, (x₀,0) ve (x₁,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log₂ (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log₂ (x-1) = 0  Þ x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Þ x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301   olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (2³.10²) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)⁴⁰ sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

Log (40)⁴⁰ = 40. log(40)

= 40. (log 2².10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR⁺ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

tir.

Örnek:

log x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Burada bulunan Matematik Logaritma Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Trigonometri Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Trigonometri konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Trigonometri konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Trigonometri konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de trigonometri formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Trigonometri Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz mecidiyeköy escort aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Trigonometri Ders izle videolarından Açılmayan escort mecidiyeköy Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

 
Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Parabol Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Parabol canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Parabol Konu Anlatımı Yazılı

A. TANIM

olmak üzere,tanımlanan
f(x) = ax² + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

Kural

f(x) = ax2 + bx + cfonksiyonunun grafiğinin (parabolün);   y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.   x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Kural

f(x) = ax2 + bx + c=0 denkleminde, D = b2 – 4ac olmak üzere,   D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.   D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.   D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x₁ ile x₂ nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

Kural

Sonuç

Uyarı

Kural

f(x) = ax2 + bx + cfonksiyonunun grafiğinde (parabolde), a > 0 ise kollar yukarıya doğru,a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur.Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir:Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.

2) Parabolün tepe noktası bulunur.

3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

Kural

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

Kural

Kural

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ

y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.

f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.

Özel olarak,

f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + c – n = 0

denkleminin diskriminantı D = (b – m)² – 4a(c – n) olsun.

D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.

D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.

D = 0 ise doğru parabole teğettir.

Kökleri Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması:

Kökleri x₁ ve x₂ olarak verilmiş ikinci dereceden denklem için sunu demiştik: (x – x₁) ve (x – x₂) ile tam bölünür.

Zaten denklem ikinci dereceden olduğundan baksa x’li çarpana da gerek yok. Ama bu çarpanların basında katsayı olarak herhangi bir sayı da bulunabilir.

Öyle ya, x ekseni üzerinde iki farklı nokta düşünün, o noktalardan geçen kolları aşağıya veya yukarıya bakan binlerce parabol olabilir.

Simdi bize bir de y = a.(x – x₁).(x – x₂) denklemimin bas katsayısı olan a lazım. İste onu da, üçüncü nokta olarak verilen, geçtiği herhangi bir nokta koordinatını kullanarak bulacağız.

Buna da bir örnek geliyor:

Örnek:

Kökleri –3 ve 1 olan ikinci dereceden bir denklemin grafiği A(2, 5) noktasından geçmektedir. Bu denklemi yazınız.

 Çözüm:

Derhal kökleri −3 ve 1 olan tüm ikinci dereceden denklemleri yazalım:

y = a.(x – x₁).(x – x₂)

y = a.(x + 3).(x – 1)

Bu denklemi (2, 5) de sağlaması gerekiyor.

O halde 5 = a.(2 + 3)(2 – 1) olduğundan a = 1’dir.

Parabol denklemi bulundu bile:

y = (x + 3).(x – 1) = x² + 2x – 3.

Örnek:

x eksenini –1 apsisli,

y eksenini –2 ordinatlı

noktada kesen yukarıdaki parabolün, tepe noktasının apsisi 2 ise bu parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

Tepe noktası simetri ekseni üzerinde bulunduğundan |AC| =|CB|’dir. O halde verilmemiş kök olan B noktasının apsisi 5’dir.

Su durumda parabolün iki kökü ve geçtiği bir noktası bellidir.

y = a.(x + 1).(x – 5)

G(0, –2) noktası da parabol üstünde olduğundan sağlaması gerekir.

–2 = a.(0 + 1).(0 – 5)

olduğundan

a= (2/5)’ tir

Bize lazım olan her şey bulunduğundan parabol denklemini yazabiliriz:

y=(2/5)*(x+1)*(x – 5) = (2/5)x² -(8/5)x – 2

Örnek:

Tepe noktası T(2, 5) olan yukarıdaki parabol x eksenini A ve C noktalarında, y eksenini de B noktasında kesmektedir. C(5, 0) ise ABC üçgeninin alanı kaç br²dir?

Çözüm:

Tepe noktasının simetri ekseni üzerinde bulunduğunu, dolayısıyla r = 2 olduğundan A(−1, 0) olduğunu unutmayın.

Su an üçgenin taban uzunluğu belli olduğundan yüksekliği yani B noktasının ordinatını bulursak, soru çözülmüş olacak. Ki orası da parabolün sabit terimidir.

İki kök de belli olduğundan

y = a.(x + 1).(x – 5)

Parabol T(2, 5)’ten geçtiğinden koordinatları eşitlikte yerine koyacağız ve sağlayacak:

5 = a.(2 + 1).(2 – 5)

olur ki a=-(5/9)  bulunur.

Simdi parabolün denklemini yazabiliriz:

Tepe Noktası Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması:

Neden bilmiyorum ve bir mana da veremiyorum ama tepe noktası koordinatları tüm kaynaklarda (r, k) olarak gösteriliyor. Biz de sürüye katılacağız.

Tepe noktası T(r, k) olarak verilen parabollerin genel denklemi y = a.(x – r)² + k seklindedir. r ve k zaten bize verilecek, verilen geçtiği herhangi bir nokta koordinatı yardımıyla da a’yı bulacağız. İşlem tamam olacak.

Örnek:

Tepe noktası T(1, 2) olup, G(3, –5)’ten geçen parabolün denklemini yazınız

Çözüm:

r = 1 ve k = 2 olduğundan, y = a.(x – r)² + k = a(x – 1)² + 2 olur.

G(3, –5) noktası parabol üstünde olduğundan hemen görevimizi yapalım:

–5 = a(3 – 1)² + 2 olur ki a=-(7/9)  bulunur.

Düzenlenirse; 

Örnek:

Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktası T(1, 4) olup, parabol G(5, –2) noktasından geçmektedir.

Buna göre f(8) kaçtır?

Çözüm:

Parabolün denklemi olan y = f(x) fonksiyonunu bulup, x yerine 8 yazacağız.

r = 1 ve k = 4 olduğundan, y = a(x – r)² + k = a(x– 1)² + 4 olur.

G(5, –2) noktası parabol üstünde olduğundan denklemi sağlar:

–2 = a.(5 – 1)² + 4

olur ki a=-(3/9) bulunur.

Düzenlenirse; 

bulunur, dolayısıyla 

Örnek:

(2,0) ve (0, 3) ortak noktalarına sahip f parabolü ile g doğrusunun grafikleri yukarıda verilmiştir.

Taralı bölgeye karşılık gelen eşitsizlik sistemini yazınız.

Çözüm:

Tepe noktası ve geçtiği bir noktası bilindiğinden parabol denklemini y=(3/4)*(x-2)²  Olarak buluruz.

Geçtiği iki noktası bilinen doğru denkleminin formülünden de doğrunun denklemi y= -(3/4)*x +3 olarak bulunur.

Taralı bölge parabolün üstü ile doğrunun alt bölgesinin kesişimi olduğundan eşitsizlik sistemi söyle olmalıdır:

Denklemi Verilen Parabolün Tepe Noktasının Koordinatlarının Bulunması:

y = ax² + bx + c

denklemini y = a(x – r)² + k haline getirerek r ve k’nın formüllerini çıkarmış olacağız.

y = ax² + bx + c

y = a(x² + (b/a)x + (c/a) )

Görüldüğü üzere r’nin formülü sık ama k’nın formülü gıcık. Buna hemen bir formül bulmalıyız:

T(r, k) noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlaması gerekir. O halde x yerine r yazdığımızda çıkacak y değeri k olmalıdır.

Buradan anlaşılması gereken sudur: k’yı bulmak isteyen bir vatandaş, fonksiyonda x gördüğü yere r’yi yazarak da k’yı bulabilir.

Unutmayın ki, k değeri fonksiyonun alabileceği minimum ya da maksimum değeri verir, r değeri ise o minimum ya da maksimum değerini hangi x değeri için aldığını verir.

Örnek:

y = x² + 4x + 8 parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm 1: Önce bir koordinatlarını bulalım, orijine olan uzaklı kolay.

Çözüm 2: Tavsiyemiz bu yoldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhal tam kare haline getirin, gerisi sırıtacak zaten.

Ne kadar da y = a(x – r)² + k formülüne benziyor değil mi?

Aslında ta kendisi, o halde r = –2 ve k = 4.

Örnek:

y = –x² + 6x – 2 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm 1:

Çözüm 2:

y = –x² + 6x – 2 = –x² + 6x – 9 + 7 = –(x – 3)² + 7 olduğundan T(r, k) = T(3, 7).

Örnek:

f(x) = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olup, diskriminantı D’dır. a, b, c, r, k, D değerlerinden en çok kaç tanesi aynı anda negatif olabilir?

Çözüm:

Eğer f(x)’in, yukarıda görüldüğü üzere, tepe noktası analitik düzlemin III. bölgesinde ve kolları aşağı doğruysa, bahsi geçen altı değer de aynı anda negatif olabilir.

Kollar aşağı doğru olduğundan a < 0, y eksenini negatif tarafta kestiğinden c < 0, Tepe noktası III. bölgede olduğundan r < 0 ve k < 0, x eksenini  kesmediğinden   ar olup, ar >0 olduğundan b < 0. Dolayısıyla altı değerin altısı birden aynı anda sıfır olabilir.

Örnek:

f(x) = x² – (2m + 2)x + m + 6 fonksiyonunun tepe noktası y = –1 doğrusu üzerinde ise m’nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm:

Baş katsayı pozitif olduğundan, parabolün kolları yukarı doğru olup, parabol yukarıdaki gibidir. Tepe noktası da y = –1 doğrusu üstünde olduğundan k = –1’dir.

eşitliği çözülürse (m + 3)(m – 2) = 0 buluruz ki m= –3 veya m = 2 olabilir.

Örnek:

y = 2x² + 5x + 8 parabolü ile y = x + 6 doğrularının birbirlerine göre durumlarını inceleyiniz. Teğetseler degme noktasının, kesişiyorsalar kesim noktalarının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

2x² + 5x + 8 = x + 6,

2x² + 4x + 2 = 0,

x² + 2x + 1 = 0 = (x + 1)²,

Görüldüğü gibi eşitlenen denklemlerin ortaya çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru parabole tek noktada değiyor, yani teğet. x = –1 olduğundan y = –1 + 6 = 5 olduğundan teğet degme noktası koordinatları (–1, 5)’tir.

Örnek:

y = x² + 4x – 11 parabolünün y = 2x – 21 doğrusuna göre konumunu belirleyiniz.

Çözüm:

Her zamanki gibi denklemleri ortak çözeceğiz.

x² + 4x – 11 = 2x – 21, x² + 2x + 10 = 0.

Bu denklemin reel kökü olmadığından doğruyla parabol kesişmezler.

Burada bulunan Matematik Parabol Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]