Türev Konu Anlatımı Yazılı

Türev Konu Anlatımı Yazılı
1 Yıldız2 Yıldız3 Yıldız4 Yıldız5 Yıldız (3 Oy Verildi) 5 üzerinden ortalama 5,00 puan
Loading...

Öncelikle Konu Anlatımı Biraz uzun olduğundan Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (Türev Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Türev Konu Anlatımı Yazılı

1. Türevin Tanımı

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir.

a reel sayısını bulunduran bir I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için,

türevin limit tanımı

bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve bu değer f’nin a noktasındakitürevidir. f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta türevlenebilirse, bu türev değerlerinin oluşturduğu fonksiyona f’nin türev fonksiyonu denir ve f’ ile gösterilir.

a, b birer reel sayı olmak üzere,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net fonksiyonu verilmiş olsun.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.

Ve f ‘(x0), Df(x0) ya da Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ile gösterilir. Buna göre,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

fonksiyonu için,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

1. f ‘(a+) = f'(a) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

Örnek:

soru1

fonksiyonu için eğer varsa
a) f'(3) değerini bulalım.
b) f'(2) değerini bulalım.

Çözüm:
a) x = 3 > 2 olduğundan f'(3) için f(x) = 3x2 – 6 dır

çzöüm1

b) x = 2 kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri
bulunmalıdır.

çözüm1

Örnek: f(x) = |x2 – 16| fonksiyonu için eğer varsa,

a) f'(3) türevini bulalım.
b) f'(4) türevini bulalım.
Çözüm:
a) x = 3 , f(x) = |x2 – 16| fonksiyonu için bir kritik nokta
olmadığından

çözümm2

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn nin Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

2. c Sabit Sayısının Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

3. c × f(x) in Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

4. Toplamın Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

5. Farkın Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

6. Çarpımın Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

7. Bölümün Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Sonuç

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net verilsin. Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net olmak üzere,

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Uyarı

f ‘(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.f ‘(2) ¹ [f(2)]’ dir.Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net fonksiyonu Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi Fy ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net olmak üzere,

f'(x) in türevi olan Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netNot 1 Arksinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arksinüsün görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, [kπ/2 , (k+2)π/2] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.Not 2 Arkkosinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arkkosinüsün görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, [kπ , (k+1)π] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

5) Arksekant fonksiyonunun türevi:

arksekantın türevi

Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksekantın görüntü kümesine göre değişir. Arksekantın görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, (kπ , (k+1/2)π) ∪ ((k+1/2)π , (k+1)π) kümesidir. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

6) Arkkosekant fonksiyonunun türevi:

arkkosekantın türevi

Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosekantın görüntü kümesine göre değişir. Arkkosekantın görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, (kπ/2 , (k+1)π/2) ∪ ((k+1)π/2 , (k+2)π/2) kümesidir. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

 

Örnek:

f(x) = x2 + 36x+1 fonksiyonu için, f ‘(1/2) değeri kaçtır?

Çözüm: f (x) = x2 + 36x+1 ise f ‘(x) =2x+36

f ‘(1/2) = 2. (1/2)+36 = 37 dir.

 

Örnek:Uygun koşullarda f(x) = 3x2. √f(x) + x + 2 koşulunu sağlayan f fonksiyonu için f(1) = 4 ise f'(1) değeri kaçtır?

Çözüm:f(x) = 3x2. √f(x) + x + 2 ise  

 f ‘(x) =6x.√f(x) + 3x2. [f ‘(x) / (2√f(x))] +1

x=1 için

 f ‘(1) =6.1.√f(1) + 312. [f ‘(1) / (2√f(1))] +1

 f ‘(1) =6.√4 + 3. [f ‘(1) / (2√4)] +1

 f ‘(1) =12+ (3/4). f ‘(1) + 1 =>  (1/4). f ‘(1) =13 => f ‘(1)=52 bulunur

Örnek:f(x) = x3 – 3ax + 2 fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
f'(2) = 6 olmalıdır.
f'(x) = 3x2 – 3a olup f'(2) = 3. 22 – 3a = 6   =>  6 = 3a  =>  a = 2 dir.

Örnek:f(3x – 5) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre,  f'(1) + f(1) kaçtır?

Çözüm:  f(3x – 5) = 2x2 + x – 1

f ‘(3x – 5).3 = 4x + 1
f ‘(3.2 – 5).3 = 4.2 + 1
f ‘(1).3 = 9
f ‘(1) = 3
f(3x – 5) = 2x2 + x – 1
f(3.2 – 5) = 2.22 + 2 – 1
f(1) = 9
O halde, f ‘(1) + f(1) = 3 + 9 = 12 bulunur

Örnek:Parametrik denklemi
x = 3t3 + t + 2
y = t3 + 2t2 – 1
olan y = f(x) fonksiyonu için türevinin t = 1 noktasındaki değeri kaçtır?

Çözüm:

çözüm3

Örnek:f(x) = 3cos2x +2xcotx fonksiyonunun x = -(π/4) apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm:
f(x) = 3cos2x + 2x . cotx
f ‘(x) = 3 . 2 . cosx . (–sinx) + 2cotx + 2x . [–(1+cot2x)]

çözüm 4

çzöüm5

TÜREVİN ANLAMI

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir doğru üzerinde y = f(x) denklemine göre hareket eden bir hareketlinin x0 anındaki hızını tanımlayalım.

türevv

x0 anının yakınlarında bir x alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan yol f(x) – f(x0) ve geçen süre x – x0 olduğundan türev anlam

x0 ın yakınlarında seçilen her x için bu yolla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz x0 anındaki hızı aradığımız için x ≠ x0 olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak türev anlam 1

limiti varsa, bu limite x = x0 anındaki anlık hız denir.

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı: Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ve t anındaki ivmesi Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için: m = tana dır.

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türeviA(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.f'(x0) = m = tana dır.

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netolur.

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netBuna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

Örnek: f(x) = x / (x2-1)  fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir?

Çözüm:

türev çöz

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 ∈ B için,

x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

2. Azalan Fonksiyon

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 ∈ B için,

x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

3. Sabit Fonksiyon

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net bir fonksiyon olsun.

Her x1, x2 ∈ B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

 

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net bir fonksiyon ve
a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netolacak şekilde birp ∈ (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

Her x ∈ A için, Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

olacak şekilde bir p ∈ A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net bir fonksiyon ve a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netolacak şekilde bir r ∈ (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

Her x ∈ A için, Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

olacak şekilde bir r ∈ A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net h > 0 olmak üzere,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.
Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net h > 0 olmak üzere,Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

Yerel minimum değer, f(x0) dır.

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

Kural

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netTürev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.netise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

[a, b] aralığında f ”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f ”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.net

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

Uyarı

Türev Konu Anlatımı yazılı www.egitim-dunyasi.nety = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f ‘(x) < 0 dır.2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f ‘(x) > 0 dır.3. a < x < c için f ”(x) > 0 dır.4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f ‘(b) = 0 ve f ‘(d) = 0 dır.5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f ”(c) = 0 dır.

 

ASİMPTOT

Bir eğrinin herhangi bir kolu sonsuza giderken, aralarındaki uzaklığın sıfıra yakınsadığı ve eğrinin kolunu kesmeyen doğruya veya eğriye asimptot adı verilir.

DÜŞEY ASİMPTOT

Denklemi, a sabit bir reel sayı olmak üzere, x = a şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, a bir reel sayı olmak üzere, eğer;

düşey asimptot

veya,

düşey asimptot

ise, f eğrisinin düşey asimptotu vardır ve bu asimptot x = a’dır.

YATAY ASİMPTOT

Denklemi, c sabit bir reel sayı olmak üzere, y = c şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, c bir reel sayı olmak üzere, eğer;

yatay asimptot

ise, f eğrisinin yatay asimptotu vardır ve bu asimptot y = c’dir.

EĞİK ASİMPTOT

Denklemi, m ve n sabit birer reel sayı olmak üzere, y = mx+n şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, m ve n birer reel sayı olmak üzere, eğer;

eğik asimptot

ise, f eğrisinin eğik asimptotu vardır ve bu asimptot y = mx+n’dir.

EĞRİ ASİMPTOT

Denklemi bir eğri olan asimptotlara eğri asimptot denir.

f ve g birer eğri olmak üzere, eğer;

eğri asimptot

ise, f eğrisinin eğri asimptotu vardır ve bu asimptot g eğrisidir.

 örnek 5

Örnek: f(x) = x3 + kx2 + 3x + 6 fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonksiyonunun grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre, k reel sayısı kaçtır?
Çözüm:
f(x) = x3 + kx2 + 3x + 6 fonksiyonu verilmiş. f ‘(x) in grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre,
f”(–1) = –3 tür. O halde
f'(x) = 3x2 + 2kx + 3
f”(x) = 6x + 2k
f”(–1) = 6.(–1) + 2k = –3
2k = 6 – 3
k=(2 / 3) bulunur.

Örnek:f(x) = x2 + 4x + 1 fonksiyonuna x = –2 apsisli noktasından çizilen teğetinin denklemi nedir?
Çözüm:
f(–2) = (–2)2 + 4.(–2) + 1 = –3 olup, A(–2, –3) noktasından çizilen teğetin denklemi isteniyor. Teğetin eğimi = f'(–2) dir.
f(x) = x2 + 4x + 1 f'(x) = 2x + 4
x = –2 f'(–2) = 2.(–2) + 4 = 0 dır.
Teğetin eğimi sıfırdır.
Teğetin denklemi:
y – f(x0) = f ‘ (x0) (x – x0)
y – (–3) = 0.(x – (–2))
y = –3 tür.
f ‘(–2) = 0 olduğundan bulunan teğetin x eksenine paralel olduğuna dikkat ediniz.

Örnek:f(x) = x3 – 12x + 1 eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri
y = 13x + 2 doğrusuna paraleldir?
Çözüm:
İstenen noktanın apsisi x0 olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 15 olmalıdır. O halde f ‘(x0) = 15 eşitliğini sağlayan x0 değerlerini bulmalıyız.
f(x) = x3 – 12x + 1 f'(x) = 3x2 – 12
f'(x0) = 3x02 – 12
15 = 3x02 – 12

 3x02 = 27 ise  x02 = 9
x0 = 3 veya  x0 = –3 olur 
x0 = 3 f(x0) = f(3) = 33 – 12.3 + 1 = –8
x0 = –3 f(x0) = f(–3) = (–3)3 – 12.(–3) + 1 = 10
olup istenen noktalar (3, –8) ve (–3, 10) dur.

Burada bulunan Matematik Türev konu anlatımı yazılı dersi ile ilgili eklemek istedikerinizi Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Yazar:
YORUMLAR & SORULAR-CEVAPLAR

Henüz yorum yapılmamış. Bu yazımız ile alakalı merak ettiklerinizi veya eklemek istediğiniz her türlü görüş ve öneriyi aşağıya yorum olarak yazabilirsiniz.

YORUMLAR & SORULAR-CEVAPLAR

(Yazımızla ilgili aklınızdaki soru ve düşünceleri yorum olarak aşağıya ekleyebilirsiniz.)