Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Video

Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Video
1 Yıldız2 Yıldız3 Yıldız4 Yıldız5 Yıldız(Bu yazıya oy vermek ister misiniz?)
Loading...

LYS Sınavına hazırlanan okuyucularımıza sınavlara çalışmalarında yardımcı olmak maksadı ile İnternette çeşitli platformlar altında yer alan ve matematik 2 diye tabir edilen alanda yer alan matematik Karmaşık Sayılar online ders anlatımı yapan gözde hocaların Karmaşık Sayılar konu anlatım videolarını siz değerli Eğitim-Dünyası okuyucuları için aralarından seçim yaparak konularına göre derleyerek aşağıya matematik Karmaşık Sayılar video konu anlatımlarını listeledik, Değerli okuyucumuz LYS için olan ve mat 2 konuları arasında yer alan online matematik Karmaşık Sayılar konu anlatımlarından istediğiniz hocayı seçerek onun anlattığı dersi izleyebilirsiniz. Ayrıca Videoların devamında da matematik Karmaşık Sayılar konusu ile ilgili yazılı anlatım ve genel Karmaşık Sayılar formülleri de eklenmiştir.
Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen yukarısında alt alta yer almaktadır.) Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Videolar

Ekol HocaŞenol HocaTeknoFemHalit Hocaİbrahim Hoca (Konu Özeti)Bugra HocaMatematik Karmaşık Sayılar Çözümlü Sorular ve FormüllerDiğer
Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 1 Ekol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 2 Ekol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 1 Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 2 (Karmaşık sayılarda işlemler)Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 3 (karmaşık sayının mutlak değeri)Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 4 (Karamaşık sayılar arasındaki uzaklık) Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 5 (KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL GÖSTERİMİ) Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 6 (KARMAŞIK SAYIYI DÖNDÜRME,KARMAŞIK SAYIDA KÖK BULMA) Şenol Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 1 (i nin Kuvveti, Reel Sanal Kısım) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 2 (KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ,KARMAŞIK SAYININ MUTLAR DEĞERİ (MODÜLÜ),KARMAŞIK SAYILARDA II. DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ,) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 3 (EŞLENİK VE MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ,İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK,KARMAŞIK SAYININ GEOMETRİK YER DENKLEMİ VE DÜZLEMDEKİ GÖRÜNTÜSÜ,KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 4 (DÜZLEMDE KARMAŞIK SAYI İLE ÇEMBERİN İLİŞKİSİ,KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL BİÇİMİ) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 5 (KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 6 (KUTUPSAL BİÇİM ÖZELLİKLER,KARMAŞIK SAYININ DÖNDÜRÜLMESİ) TeknoFem

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 1 () Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 2 (Bir karmaşık sayının eşleniği,karmaşık sayılarda toplama,çıkarma,bölme ve çarpma.) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 3 (Bir karmaşık sayının modülü( mutlak değeri) ve özellikleri… ) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 4 (İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık ve karmaşık düzlemde gösterimi.) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 5 (Karmaşık Sayıların Kutupsal gösterimi.) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 6 (Karmaşık Sayıların Kutupsal gösterimi.) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı 7 (Bir Karmaşık sayının köklerinin bulunması,bir karmaşık sayının kompleks düzlemde döndürülmesi..) Halit Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı (Konu Özeti) İbrahim Hoca

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Bugra Hoca

Sitemizde yukarıda yer alan Matematik Karmaşık Sayılar Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Karmaşık Sayılar canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Yazılı

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…

TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = √-1  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  √-1 = i } dir.

( i = √-1   Þ i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = √-1  + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 2 – 3i      Þ     Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  √-1 +    Þ    Re(Z3) = √-1  ve İm(Z3) = 1,

Z4 =  7    Þ     Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i     Þ     Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

1_karma%C5%9F%C4%B1k-say%C4%B1larsayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve   2_karma%C5%9F%C4%B1k-say%C4%B1lar   ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı vex, y negatif gerçel sayı olmak üzere,3_karma%C5%9F%C4%B1k-say%C4%B1lar

A. i NİN KUVVETLERİ

 

4_karma%C5%9F%C4%B1k-say%C4%B1larolmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde, kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,kalan 1 ise,ix ifadesinin eşiti i,kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.Buna göre, n tam sayı olmak üzere,i4n= 1,i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve 4_karmaşık-sayılar olmak üzere, z = a + bişeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.Karmaşık sayılar kümesi 6_karmaşık-sayılar ile gösterilir. Buna göre,
7_karmaşık-sayılarz = a + bi karmaşık sayısında;a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.z = a + bi iseRe(z) = aİm(z) = bşeklinde gösterilir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,8_karmaşık-sayılar  dir.

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

Z1=a+bi   ve Z2=c+diZ1=Z2 ise, (a=c ve b=d) dir

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

10_karmaşık-sayılarve  i2 = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği11_karmaşık-sayılar  ile gösterilir.

Buna göre,12_karmaşık-sayılar

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,13_karmaşık-sayılar

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

Örnek:

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 – 3i,

2) Z2 = √2 – √3i sayısının eşleniği Z2 = √2 + √3i,

3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

5) Z5 = √3 – √2 sayısının eşleniği Z5 = √3 – √2 dir.

Örnek: Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm: 3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

  1. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
  2. Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

14_karmaşık-sayılar Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,15_karmaşık-sayılardir.

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d) dir

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

z-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d) dir

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

z.w=a.c+a.di+b.ci+b.di2  , (i2=-1)

a.c+a.di+b.ci-b.d

(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,21_karmaşık-sayılar

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,(1+i)2.n = 2n.in   dir(1-i)2.n = (-2n ).in   dir
4. Bölme İşlemi

23_karmaşık-sayılar

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve Z1/Z2 biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

25_karmaşık-sayılar

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

26_karmaşık-sayılar

27_karmaşık-sayılar

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

|z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

28_karmaşık-sayılar

 

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

29_karmaşık-sayılar

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla |z – w| = reşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.|z – w| < reşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

30_karmaşık-sayılar

 

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

arg(z) ile gösterilir.

31_karmaşık-sayılarolsun. Bu durumda,

32_karmaşık-sayılarşeklinde gösterilir.33_karmaşık-sayılar

Açının esas ölçüsü olan değere de 34_karmaşık-sayılar esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den (35_karmaşık-sayılar radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

 

yazılır. Buradan,

36_karmaşık-sayılar37_karmaşık-sayılar

 

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere, z = |z| × (cosq + isinq)biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

Kural

  38_karmaşık-sayılarolmak üzere,39_karmaşık-sayılarBuna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda, arg(z . w) = arg(z) + arg (w)

Kural

  41_karmaşık-sayılarolmak üzere,42_karmaşık-sayılarBuna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda, arg(z : w) = arg(z) – arg (w)

Kural

44_karmaşık-sayılar

Sonuç

 

  45_karmaşık-sayılarBuna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

Sonuç

46_karmaşık-sayılar

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = qkoşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.47_karmaşık-sayılar

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r ×cis(q + a) olur. Bu durum,

v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

48_karmaşık-sayılarolmak üzere,

zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

49_karmaşık-sayılar

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir. Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,z1 = –z2 dir.

Kural

  50_karmaşık-sayılarzn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.51_karmaşık-sayılar

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Yazar:
YORUMLAR & SORULAR-CEVAPLAR

Henüz yorum yapılmamış. Bu yazımız ile alakalı merak ettiklerinizi veya eklemek istediğiniz her türlü görüş ve öneriyi aşağıya yorum olarak yazabilirsiniz.

YORUMLAR & SORULAR-CEVAPLAR

(Yazımızla ilgili aklınızdaki soru ve düşünceleri yorum olarak aşağıya ekleyebilirsiniz.)