Derslerle Alakalı görüşlerinizi veya eksik olarak gördüğünüz derslerin eklenmesi talebinizi aşağıdaki yorum alanını kullanarak bize iletebilirsiniz.

 YGS Dersleri Konu Anlatımları ve Çözümlü Sorular

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Olasılık Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Olasılık Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Olasılık canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Olasılık Konu Anlatımı Yazılı

A. OLASILIK TERİMLERİ

1. Deney

Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.

2. Sonuç

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.

3. Örnek Uzay

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.

4. Olay

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.

5. ımkansız Olay

E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

6. Kesin Olay

E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir.

7. Ayrık Olaylar

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

B. OLASILIK FONKSİYON

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun.

P : K ® [0, 1]

şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir.

P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.

1. Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir.

2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir.

3. ımkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır.

4. A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

Kural

C. Eş OLUMLU ÖRNEK UZAY

Sonlu bir E = {e₁, e₂, e₃, … , e_n} örnek uzayı için,

P(e₁) = P(e₂) = P(e₃) = … = P(e_n)

ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.

E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,

dır.

Kural

D. BAğIMSIZ OLAYLAR VE BAğIMLI OLAYLAR

A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir.

Kural

E. KOşULLU OLASILIK

A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir.

Burada bulunan Matematik Olasılık Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Soru Çözüm videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Matematik Olasılık Çözümlü Sorular Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Olasılık soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Olasılık canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.

Matematik Olasılık Formüller

Burada bulunan Matematik Olasılık Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Permütasyon Kombinasyon soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Permütasyon Kombinasyon canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın şirinevler escort sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.
Matematik Permütasyon Kombinasyon Çözümlü Sorular Videolar

Matematik Permütasyon Kombinasyon Formüller

PERMÜTASYON:

n tane elemanın bir sıra üzerinde r’li sıralanışlarından herbirine n’nin r’li bir permütasyonu denir, n elemanın r’li permütasyonlarının sayısı,

n  ≥ r olmak üzere:

 dir

n = r alındığında;

 dir

Dairesel Permütasyon : n tane eleman bir çember etrafında

farklı şekilde sıralanır.

Halka Permütasyonu : n tane eleman bir halkada

 farklı şekilde sıralanır.

Not: Bir yuvarlak masa etrafında insanların sıralanışı dairesel permütasyona, halka biçimindeki bir anahtarlıkta, anahtarların dizilişi, halka permütasyonuna birer örnektir.

Tekrarlı permütasyon : n tane eleman içerisinden n1 tanesi 1. çeşit, n2 tanesi 2. çeşit, n3 tanesi 3. çeşit, …, nf tanesi r. çeşit ise, bu n eleman bir sıra üzerinde

 farklı şekilde sıralanır.

KOMBİNASYON

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden herbirine n’in r’li kombinasyonu denir, n elemanın r’li kombinasyonlarının sayısı, n,r ∈ IN ve r ≤  n olmak üzere:

 dir.

Özellikleri:

1.  şeklinde gösterilir.

2. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı n – r elemanlı alt kümeleri sayısına eşittir.

3. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı:

 dir.

4. 

5.

6. 

7. Aynı düzlemdeki n tane doğrunun kesim noktaları

en çok  tanedir.

8. Aynı düzlemdeki n tane noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle

en çok  farklı doğru oluşturur.

9. Aynı düzlemdeki n tane noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle, köşeleri bu noktalar üzerinde bulunan

en çok  farklı üçgen oluşturur.

10. Aynı düzlemdeki yarıçapları farklı n tane çember

en çok  farklı noktada kesişir.

11. Aynı düzlemdeki n tane paralel doğrunun m tane paralel doğruyu kesmesiyle

 tane paralelkenar elde edilir.

Burada bulunan Matematik Permütasyon Kombinasyon Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından escort şirinevler bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Permütasyon Kombinasyon Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Permütasyon Kombinasyon Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Permütasyon Kombinasyon canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Permütasyon Kombinasyon Konu Anlatımı Yazılı

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1. Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

olmak üzere

,

Sonuç

2. Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a₁, a₂) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

(a₁, a₂, a₃) ifadesine sıralı üçlü

(a₁, a₂, a₃, a₄) ifadesine sıralı dörtlü

. . .

(a₁, a₂, a₃, … , a_n) ifadesine sıralı n li denir.

A ve B sonlu iki küme olsun

s(A) = m

s(B) = n

olmak üzere,

s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir.

A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

Sonuç

B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

Sonuç

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :

Sonuç

1. Dairesel (Dönel) Permütasyon

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.

Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n – 1)! ile bulunur.

2. Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n₁ tanesi 1. çeşitten, n₂ tanesi 2. çeşitten, … , n_r tanesi de r. çeşitten olsun.

n = n₁ + n₂ + … + n_r olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)

olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), C_rⁿ ya da  ile gösterilir.

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:

Kural

Kural

n £ N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;0 elemanlı alt kümelerinin sayısı : 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı : 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:  n elemanlı alt kümelerinin sayısı:  olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:

Burada bulunan Matematik Permütasyon Kombinasyon Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Soru Çözüm videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Matematik Modüler Aritmetik Çözümlü Sorular Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Modüler Aritmetik soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Modüler Aritmetik canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.

Matematik Modüler Aritmetik Formüller

MODÜLER ARİTMETİK

a, b sıfırdan farklı tamsayılar ve b>0 olmak üzere, a sayısını b ye bölmek demek, a = m.b+k, 0≤k

Bazı tam sayıların 3 ile bölme işlemini inceleyelim.

Sonuç: 3 ile bölümden kalanların 0,1,2 tamsayılardan biri olduğu görülüyor. Demek ki bir sayı 3 ile bölündüğünde 0,1,2 kalanlarını verir. Aşağıdaki kümeyi inceleyelim:

Burada; bir kümedeki her elemanın 3 ile bölümünden kalanın aynı olduğu, her kümedeki iki elemanın farkının 3 ile bölündüğünü ve bu kümelerin ayrık olup, birleşimlerinin de Zyi verdiğini görüyoruz.

Bu kümelerin z de

bağıntısının denklik sınıfı oluşturduğunu biliyoruz.

nin anlamı x-y = 3m (m∈Z) dir. Bu durum x = y (mod 3) yazılır ve “x’ denktir y modül 3″ diye okunur.

biçiminde yazılır. Bu ifade x ile k nın aynı denklik sınıfında olduğunu gösterir. Bu denklik sınıfı k ile gösterilir ve

dir

Tanım: a ve k tam sayıları ve m> o tamsayısı verilsin.

a-k farkı m ile tam bölünüyorsa, m modülüne göre a, k ya denktir denir ve a ≡ k (mod m) yazılır.

Yani,

Örnek: 3 Ι11-2 olduğundan
11 ≡ 2 (mod 3)
5 Ι12-(-3) olduğundan 12 ≡ -3 (mod 5)
5 Ι(-17)-(13) olduğundan
-17 ≡ 13 (mod 5)
3 modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z/3,4 modülüne göre
Z/4, ……..m modülüne göre Z/m biçiminde gösterilir. bunlar,

Tanım:

Z/m kümesinin elemanlarına kalan sınıfları denir.

Uyarı: Z/m de toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özeliği vardır.

Örnek: x ≡ 3 (mod5) ise x sayılarının kümesini bulunuz.

x ≡ 3 (mod5) <=> 5I x-3 => x -3 = 5k, k∈ Z => x = 3 +5k olur.

x∈ {…….-7, -2, 3, 8, 13……} bulunur.

Teorem:

a,b,c tam sayıları ve m pozitif bir tamsayı olsun.

1) a ≡ a (modm)

2) a ≡ b (modm) ise b ≡ a (modm)

3) a ≡ b (modm) ve b ≡ c (modm) ise a ≡ c (modm) dir.

Teorem:

a,b,c, de Z ve m ∈ Z+ için

1) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm)

=> a±c =b±d (modm) dir.

2) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm) => a.c ≡ b.d (modm) dir.

3) a ≡ b (modm) ise a^k = b^k(modm)

(k∈Z⁺)

4) pa ≡ pb (modm) p∈ Z

ÖRNEK:

****17 ≡ 2 (mod5) ve 28 ≡ 3(mod5) olduğundan

17+ 28 ≡ (2+3) (mod5) 45 ≡ 5 (mod5) 45 ≡ 0 (mod5)

O halde; mod(m) ye göre yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanırsa, çıkarılırsa ya da çarpılırsa, yine bir denklik elde edilir.

****73¹⁹⁹³ sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz.

Çözüm: Bir sayının birler basamağındaki rakam, sayının 10 ile bölümünden kalandır.
73¹⁹⁹³ = x (modl0) dan x sayısını bulalım.

73 ≡ 3 (mod 10)
732 ≡ 9 (mod 10)
733 ≡ 7 (mod 10)
734 ≡ 1 (mod 10)
(73⁴)⁴⁹⁸ ≡ (1)⁴⁹⁸ (mod 10)
73¹⁹⁹² ≡ 1 (mod 10)
73 ≡ 3 (mod 10)
73¹⁹⁹³ ≡ 3 (mod 10)

Öyleyse sayının birler basamağındaki rakam 3 dür.

Uyarı:

a) Sayı, 1’e denk oluncaya kadar kuvvetleri alınır, 1’e denk olan kuvvete üs bölünür. Kalan üs olarak alınır.

b) m asal sayı ise 1 eksiği yani (m-1) inci kuvvetle mutlaka 1 bulunur ve tekrar başlar.

c) aⁿ = x (modm) de m ile a aralarında asal değilse 1 bulunmaz. Tekrar başlayıncaya kadar teker teker incelenir.

Burada bulunan Matematik Modüler Aritmetik Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Modüler Aritmetik Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Modüler Aritmetik Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Modüler Aritmetik canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Modüler Aritmetik Konu Anlatımı Yazılı

Tanım: a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

ß = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denkliktir. ß denklik bağıntısı olduğundan, her (a, b) € ß için,

a ≡ b (mod m)  biçiminde yazılır ve ” m modülüne göre a sayısı b ‘ye denktir. ” denir.

• Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar;  0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1)  ‘dir.

Kritik Nokta: Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları;

olarak ifade edilebilir.  Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir. Buna göre;

Kritik Nokta: 

n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a ≡ b (mod m)
c ≡ d (mod m) olmak üzere,

1. a + c ≡ b + d (mod m)
2. a – c ≡ b – d (mod m)
3. a × c ≡ b × d (mod m)
4. an ≡ bn (mod m)
5. a – b ≡ 0 (mod m)
6. k × a ≡ k × b (mod m)
7. n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise 
8. a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, 

Kritik Nokta:  x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,   x^m–1 ≡ 1 (mod m)dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hali; m = a^k . b ^r . c ^p olmak üzere

m asal sayı ise,  (m – 1)! + 1 ≡ 0 (mod m) dir.

 Örnek :
–27’nin 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu ifade 27 ≡ 2 (mod 5) ile gösterilir.
–60’nın 10 ile bölümesinde kalan 0’dır. Bu ifade 60 ≡ 0 (mod 10) ile gösterilir.
–45’in 7 ile bölümünden elde edilen kalan 4’dür. Bu ifade -45 ≡ 4 (mod 7) ile gösterilir.

---

Özellikler :
1)

x ≡ k (mod m) x-k ≡ 0 (mod m)

}

→ Tam bölünür.

---

2) a,b,c,d ∈ Z ve m Z⁺-{1} olmak üzere

a ≡ b (mod m)
c ≡ d (mod m) ise

* a ± c ≡ b ± d (mod m)
* a.c ≡ b.d (mod m)

---

3) a ≡ b + k.m (mod m), k ∈ Z
4) k.a ≡ k.b (mod m),
5) aⁿ ≡ bⁿ (mod m) n ∈ N

---

NOT : a ≡ b (mod m) iken, a ve m asal sayı ise

a^m-1 ≡ 1(mod m)

Burada bulunan Matematik Modüler Aritmetik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Soru Çözüm videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Matematik İşlem Çözümlü Sorular Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik İşlem soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik İşlem canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.

Matematik İşlem Formüller

 A. TANIMHerhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.A ⊂ B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.İşlemler;  gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİA kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği” (Her) a, b ∈ A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özeliği” (Her) a, b ∈ A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği” (Her) a, b, c ∈ A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği” (Her) x ∈ A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.e ∈ A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliğip işleminin etkisiz elemanı e olsun.a ∈ A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

Burada bulunan Matematik İşlem Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)İşlem Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik İşlem Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik İşlem canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik İşlem Konu Anlatımı Yazılı

Fonksiyonların, A kümesindeki bir x elemanını verilen bir kurala göre B kümesindeki bir y elemanına eşlediğini öğrendik. İşlem de buna benzer olarak, fakat AxA dan aldığı elemanları verilen bir kurala göre B kümesindeki bir elemana eşlemektedir.Sonuç olarak işlem özel bir bağıntıdır. Verilen sıralı ikilileri tek bir elemana götürmektedir.
Tanım:
A ¹Æ ve AÌ Bolsun. AxA  nın boş kümeden farklı herhangi bir alt kümesinden     B ye tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya   işlem denir.

>İşlemler *,,D… gibi sembollerle gösterilir.

Not: AxA dan A ya tanımlanan fonksiyona A da işlem denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanmış olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin her biri bir işlemdir.

Örnek:
A ={1,2,3} o.ü. (x,y) ΠAxA  için x*y = x şeklinde tanımlanan * işleminin şemasını ve tablosunu çizelim.

AxA ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} o.ü.

1*1=1   2*1=2    3*1=3

1*2=1   2*2=2    3*2=3

1*3=1   2*3=2    3*3=3

Örnek: A ={0,1,2} ve  B ={-2,-1,0,1,2} o.ü.

kuralı ile verilen * işleminin tablosunu oluşturalım. inceleyelim.

0*0 = 0           1*0 = 1   2*0 = 2

0*1 = -1          1*1 = 0   2*1 = 1

0*2 = -2          1*2 = -1 2*2 = 0

Örnek: A ={-1,0,1} ve AxA nın bir alt kümesi

B={(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)} olmak üzere

*:B             A,         x*y = x+y işleminin şemasını ve tablosunu çiziniz.

Örnek: A ={0,2,4,6} kümesi üzerinde  x,y Î A için  x*y = 2x-y+1 biçiminde * işlemi tanımlanıyor. Buna göre aşağıdakileri bulunuz.

1. 0*2=?
2. 0*6=?
3. 4*0=?
4. 6*2=?
5. 6*4=?
6. 0*2 = 2.0-2+1 = -1
7. 0*6 = 2.0-6+1 = -5
8. 4*0 = 2.4-0+1 = 9
9. 6*4 = 2.6-4+1 = 9

Örnek: A ={-1,0,1,2,3} kümesi üzerinde tanımlanan * işleminin tablosu aşağıdaki gibidir. Buna  göre aşağıdaki istenen değerleri bulunuz.

-1*2 = ?

-1*-1 = ?

0*0 = ?

2*1 = ?

3*2 = ?

1*3 = ?

Çözüm

-1 * 2 = 0

-1 * -1 = -3

0 * 0 = 0

2 * 1 = 5

3 * 2 = 8

1 * 3 = 5

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan

x*y = -x+2y ve xoy = x²+y   işlemleri için 1*(2o4) =? değerini bulunuz.

1 * (2o4) = 1 * ( 2²+4) = 1 * 8 = -1 +2.8 = -1 + 16 = 15  bulunur.

İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A. KAPALILIK ÖZELİĞİ

Tanım: *, A kümesinde tanımlı bir işlem olsun. “x,yÎ Aiçin x*y ÎA ise, A kümesi “*” işlemine göre kapalıdır denir.[“(x,y)Î Aiçin  x*y = z ÎA] olmalıdır.

Örnek: A ={0,1} kümesi üzerinde tanımlı x*y = x.y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.

Küme sınırlı olduğu için  işlemin tablosunun çizelim.
Tablodan da görüldüğü gibi  “x,yÎ A için x * y Î Adır. Böylece A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Örnek: Ç ={0,2,4,6,….} kümesi üzerinde tanımlı x*y = x+y işleminin kapalı olup olmadığını inceleyiniz.

“x,yÎ Ç için x * y = x+y Î Ç oluyorsa  Ç kümesi * işlemine göre kapalıdır diyeceğiz. Ç den alacağımız elemanlar çift sayı olduğundan ve  iki çift  sayının toplamı daima çift sayı olduğundan * işlemine göre Ç kümesi kapalıdır.

B. DEĞİŞME ÖZELİĞİ

Tanım: *, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
“x,yÎ A için    x*y = y*x oluyorsa * işleminin değişme özeliği vardır denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı toplama işleminin değişme özeliği vardır fakat tam sayılar kümesi, üzerinde tanımlı çıkarma işleminin değişme özeliği yoktur.

Tam sayılar kümesi üzerindeki çıkarma işlemi

x * y = x – y dir. x * y = y  x olup olmadığına bakalım.

C. BİRLEŞME ÖZELİĞİ

Tanım: *,  boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
“x,y,zÎ A için   x*(y*z) = (x*y)*z oluyorsa * işleminin birleşme özeliği vardır denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özeliği vardır

Toplama işlemi            x * y = x + y

x * ( y * z ) = x * ( y +z ) = x + y + z = (x * y) +z = (x * y) * z

olduğundan toplama işleminin birleşme özeliği vardır.

Çarpma işlemi                          x * y = x.y

x * ( y * z ) = x *(y.z) = x.y.z = (x * y) .z = (x * y) * z

olduğundan çarpma işleminin birleşme özeliği vardır.

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı x*y = x+2y işleminin birleşme özeliği olup olmadığını inceleyiniz.

x * (y * z) = (x * y) * z

x *(y + 2z ) =(x + 2y ) *z

x + 2.(y + 2z) = x + 2y +2z

x + 2y + 4z = x + 2y +2z

eşitliği doğru olmadığından (çünkü sol tarafta 4z varken sağ tarafta 2z vardır) * işleminin birleşme özeliği  yoktur.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı çıkarma ve bölme işlemlerinin birleşme özeliği olup olmadıklarını inceleyiniz.

Çıkarma işlemi            x * y = x – y

x * (y * z ) = (x * y) * z

x * (y – z ) = (x – y) * z

x – (y – z) = (x – y) – z

x – y + z = x – y – z

doğru bir eşitlik olmadığından  çıkarma işleminin birleşme özeliği yoktur. Benzer mantıkla bölme işleminin birleşme özeliği olmadığı da gösterilebilir.

Not: Bir işlemin birleşme özeliği varsa o işlem parantezlerden bağımsızdır. Yani bir * işleminin birleşme özeliği varsa

x * ( y * z ) = x * y * z yazılabilir.

D.DAĞILMA ÖZELİĞİ

Tanım: o ve *, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı iki işlem olsunlar.
“x,y,zÎA için   x*(yoz) = (x*y)o(x*z)

oluyorsa * işleminin o işlemi üzerine soldan dağılma
“x,y,zÎA için(yoz)*x = (y*x)o(z*x)

oluyorsa * işleminin o işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır denir.

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliği vardır. (Hem sağdan hem de soldan)

E. ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN ÖZELİĞİ

Tanım: *, boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun.
“xÎ A için  x *e = e*x = x olacak biçimde bir   e  Î A varsa  e ye  “*” işleminin birim(etkisiz) elemanı denir.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x*y = x+y-3  işleminin birim elemanını bulunuz.

x * e = x   Þ  x + e + 3 = x   Þ   e + 3 = 0   Þ e = -3  bulunur.

Örnek: Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı x*y = x+2y-1 işleminin varsa birim elemanını bulunuz.

Teorem: *, A kümesi üzerinde bir işlem o.ü. * işleminin birim elemanı varsa en çok bir tanedir.

Örnek: A ={0,1,2} kümesi üzerinde tanımlı * işleminin tablosu alttaki gibidir.

Tabloya göre  *  işleminin birim elemanını bulunuz.

Bir işlemin tablosu verildiğinde, etkisiz elemanı bulurken, en soldaki sütunun aynısı ile en üstteki satırın aynısının kesiştiği yerdeki eleman etkisiz elemandır.

Yukarıdaki tabloya göre söz konusu satır ve sütunun  kesiştiği yerdeki eleman 2 olduğundan bu işlemin etkisiz elemanı e = 2 dir.

Not: Bir işlemin tablosu verildiğinde, baş satır ile baş sütunu veren satır ve sütunun kesiştiği eleman birim elemandır.

F. TERS ELEMAN

Tanım: A kümesi üzerinde tanımlı * işleminin birim elemanı e olsun.

Herhangi bir x Î A için   x*y = y*x = e  koşulunu sağlayan  bir  y ∈ A varsa, y elemanına * işlemine göre x in tersi denir. y = x^-1 ile gösterilir

Örnek:  Tam sayılar kümesinde tanımlanan toplama işlemine göre varsa (2) nin tersini bulunuz.

Toplama işleminin birim elemanı e = 0 olduğundan

2 * 2^-1 = 0  Þ  2 + 2^-1 = 0  Þ   2^-1 = -2  bulunur.

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işlemine göre (4) ün tersini bulunuz.

Çarpma işleminin etkisiz elemanının e = 1 olduğunu biliyoruz. Böylece

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı   x o y = x+y+2xy  işlemine göre 3 ün tersini bulunuz.

Öncelikle bu işlemin birim elemanını bulmalıyız

x  * e = x  Þ x + e +2xe = x

e + 2xe = 0

e(1 + 2x) = 0

e = 0 bulunur.

e = 0 olduğuna göre  şimdi 3 elemanın tersini bulabiliriz.

3 * 3^-1 = 0   3 + 3^-1 + 2.3.3^-1 = 0

3 + 3^-1 + 6.3^-1 = 0

Teorem: *, A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem olsun. * işlemine göre bir elemanın tersi varsa en çok bir tanedir.

Örnek: A ={1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlı * işleminin tablosu alttaki gibidir.

Buna göre 3^-1 ve 4^-1 bulunuz.

Tabloya göre * işleminin etkisiz elemanı e = 3 tür.

Bir işlemin tablosu verildiğinde bir elemanın tersini şöyle buluyoruz.

O elemanın en başta bulunduğu satırda birim elemana kadar ilerliyoruz ve birim elemana geldliğimiz sütunun en üstündeki eleman o elemanın tersidir.

Buna göre 3^-1 = 3 ve 4^-1= 2 dir.

Örnek: A ={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlı  o işleminin tablosu altta verilmiştir.

1. e = ?
2. b.(a^-1)
3. d^-1
4. (b^-1o c)
5. (a o c)^-1
6. (c^-1)^-1

Çözüm

1. e = a
2. b. a^-1 = a
3. c. d^-1= b
4. (b^-1 o c) = (d o c) = b
5. e.(a o c)^-1 = c^-1 = c
6. f. (c^-1)^-1 = c^-1 = c  ( tersinin tersi kendisidir)

G.YUTAN ELEMAN

Tanım: *, boş olmayan A kümesi üzerinde bir işlem olsun.

∀x ∈ A için    x*y = y*x =y  olacak biçimde bir y∈ A varsa , y ye * işleminin yutan elemanı denir.

Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı çarpma işleminin yutan elemanını bulunuz

x * y = y  Þ  x.y = y Þ y – xy = 0 Þ y(1 – x) = 0   Þ y = 0  bulunur.

Örnek: Reel sayılarda tanımlı  x*y = x + y –xy işlemine göre yutan elemanı bulunuz.

x * y = y   Þ  x + y –xy = y

x – xy = 0

x = xy

y = 1  olarak bulunur.

Not: Yutan elemanın tersi yoktur.

Burada bulunan Matematik İşlem Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Soru Çözüm videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Matematik Fonksiyonlar Çözümlü Sorular Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Fonksiyonlar soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Fonksiyonlar canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.

Matematik Fonksiyonlar Formüller

Burada bulunan Matematik Fonksiyonlar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Fonksiyonlar Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Fonksiyonlar Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Fonksiyonlar canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Fonksiyonlar Konu Anlatımı Yazılı

A. TANIM

A  ve B  olmak üzere, A dan B ye bir  bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

x  A ve y  B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A  B ya da x  f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

***Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

***Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

*** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

  i) A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir.

 ii) B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir.

iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^m  n – n^m dir.

*** Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

A  B  olmak üzere,

  fonksiyonları tanımlansın.

1.    (f + g) : A  B   , (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2.    (f – g) : A  B   , (f – g)(x) = f(x) – g(x)

3.    (f  g) : A  B   , (f  g)(x) = f(x)  g(x)

4.    x  A  B için, g(x)  0 olmak üzere,

1.    c    olmak üzere,

(c  f) : A   , (c  f)(x) = c  f(x) tir.

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

Buna göre, bire bir fonksiyonda,

x₁, x₂  A için, x₁  x₂ iken f(x₁)  f(x₂) olur.

Diğer bir ifadeyle,

x₁, x₂  A için, f(x₁) = f(x₂) iken

x₁ = x₂ ise, f  fonksiyonu bire birdir.

*** s(A) = m ve s(B) = n (n  m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

*** f : A  B

f(A) = B ise, f örtendir.

*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

m! = m  (m – 1)  (m – 2)  …  3  2  1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

*** İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

*** x  A ve c  B için,

      f : A  B

      f(x) = c

ise, f sabit fonksiyondur.

*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

*** Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

*** Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

       f : A  B

     g : A  B

Her x  A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON

       f : A  A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A  A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

biçiminde gösterilir.

 F. TERS FONKSİYON

f : A  B, f = {(x, y)|x  A, y  B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f^–1 : B  A, f^–1 = {(y, x)|(x, y)  f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y)  f ise, (y, x)  f^–1 olduğu için,

y = f(x) ise, x = f^–1(y) dir.

Ayrıca, (f^–1)^–1 = f dir.

*** (f^–1)^–1 = f dir. Ancak, (f^–1(x))^–1  f(x) tir.

*** f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f^–1 fonksiyon değildir.

 *** f : A  B ise, f^–1 : B  A olduğu için, f nin tanım kümesi, f^–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f^–1 in tanım kümesidir.

*** f(a) = b ise, f^–1(b) = a dır.

f^–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

*** y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f^–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir

.

***  olmak üzere, 

***  olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

f : A  B, g : B  C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,

f : A  B ve g : B  C olmak üzere, gof : A  C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.

*** Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

Bu durumda, fog  gof dir.

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. 

*** Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

*** I birim fonksiyon olmak üzere,

foI = Iof = f ve

f^–1of = fof^–1 = I dır.

*** f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,

(fog)^–1 = g^–1of^–1 ve

(fogoh)^–1 = h^–1og^–1of^–1 dir.

*** (fog)(x) = h(x)

ise, f(x) = (hog^–1)(x) dir.

ise, g(x) = (f^–1oh)(x) tir.

***

•  f^–1 (x) = f(x) tir.

•  (fof) (x) = x

•  (fofof) (x) = f(x)

•  (fofofof) (x) = x

…

H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A  B, f = {(x, y)|x  A, y  B, y = f(x)}

 (a, b)  f

olduğundan

f(a) = b dir.

Ayrıca, f^–1(b) = a dır.

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,

f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,

f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

Burada bulunan Matematik Fonksiyonlar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]