Türev Konu Anlatımı Yazılı

Öncelikle Konu Anlatımı Biraz uzun olduğundan Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (Türev Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Türev Konu Anlatımı Yazılı

1. Türevin Tanımı

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir.

a reel sayısını bulunduran bir I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için,

bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve bu değer f’nin a noktasındakitürevidir. f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta türevlenebilirse, bu türev değerlerinin oluşturduğu fonksiyona f’nin türev fonksiyonu denir ve f’ ile gösterilir.

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f ‘(x₀), Df(x₀) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

1. f ‘(a+) = f'(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

Örnek:

fonksiyonu için eğer varsa
a) f'(3) değerini bulalım.
b) f'(2) değerini bulalım.

Çözüm:
a) x = 3 > 2 olduğundan f'(3) için f(x) = 3x² – 6 dır

b) x = 2 kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri
bulunmalıdır.

Örnek: f(x) = |x² – 16| fonksiyonu için eğer varsa,

a) f'(3) türevini bulalım.
b) f'(4) türevini bulalım.
Çözüm:
a) x = 3 , f(x) = |x² – 16| fonksiyonu için bir kritik nokta
olmadığından

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

2. c Sabit Sayısının Türevi

3. c × f(x) in Türevi

4. Toplamın Türevi

5. Farkın Türevi

6. Çarpımın Türevi

7. Bölümün Türevi

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

Uyarı

f ‘(2) gösterimi [f(2)]’ gösterimi ile karıştırılmamalıdır.f ‘(2) ¹ [f(2)]’ dir.Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]’ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]’ = 0 dır.

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.Not 1 Arksinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arksinüsün görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, [kπ/2 , (k+2)π/2] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.Not 2 Arkkosinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arkkosinüsün görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, [kπ , (k+1)π] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar. 5) Arksekant fonksiyonunun türevi: Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksekantın görüntü kümesine göre değişir. Arksekantın görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, (kπ , (k+1/2)π) ∪ ((k+1/2)π , (k+1)π) kümesidir. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar. 6) Arkkosekant fonksiyonunun türevi: Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosekantın görüntü kümesine göre değişir. Arkkosekantın görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, (kπ/2 , (k+1)π/2) ∪ ((k+1)π/2 , (k+2)π/2) kümesidir. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

Örnek:

f(x) = x² + 36x+1 fonksiyonu için, f ‘(1/2) değeri kaçtır?

Çözüm: f (x) = x² + 36x+1 ise f ‘(x) =2x+36

f ‘(1/2) = 2. (1/2)+36 = 37 dir.

 

Örnek:Uygun koşullarda f(x) = 3x². √f(x) + x + 2 koşulunu sağlayan f fonksiyonu için f(1) = 4 ise f'(1) değeri kaçtır?

Çözüm:f(x) = 3x². √f(x) + x + 2 ise  

 f ‘(x) =6x.√f(x) + 3x². [f ‘(x) / (2√f(x))] +1

x=1 için

 f ‘(1) =6.1.√f(1) + 31². [f ‘(1) / (2√f(1))] +1

 f ‘(1) =6.√4 + 3. [f ‘(1) / (2√4)] +1

 f ‘(1) =12+ (3/4). f ‘(1) + 1 =>  (1/4). f ‘(1) =13 => f ‘(1)=52 bulunur

Örnek:f(x) = x³ – 3ax + 2 fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
f'(2) = 6 olmalıdır.
f'(x) = 3x² – 3a olup f'(2) = 3. 22 – 3a = 6   =>  6 = 3a  =>  a = 2 dir.

Örnek:f(3x – 5) = 2x² + x – 1 olduğuna göre,  f'(1) + f(1) kaçtır?

Çözüm:  f(3x – 5) = 2x² + x – 1

f ‘(3x – 5).3 = 4x + 1
f ‘(3.2 – 5).3 = 4.2 + 1
f ‘(1).3 = 9
f ‘(1) = 3
f(3x – 5) = 2x² + x – 1
f(3.2 – 5) = 2.2² + 2 – 1
f(1) = 9
O halde, f ‘(1) + f(1) = 3 + 9 = 12 bulunur

Örnek:Parametrik denklemi
x = 3t³ + t + 2
y = t³ + 2t² – 1
olan y = f(x) fonksiyonu için türevinin t = 1 noktasındaki değeri kaçtır?

Çözüm:

Örnek:f(x) = 3cos²x +2xcotx fonksiyonunun x = -(π/4) apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm:
f(x) = 3cos²x + 2x . cotx
f ‘(x) = 3 . 2 . cosx . (–sinx) + 2cotx + 2x . [–(1+cot²x)]

TÜREVİN ANLAMI

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir doğru üzerinde y = f(x) denklemine göre hareket eden bir hareketlinin x0 anındaki hızını tanımlayalım.

x0 anının yakınlarında bir x alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan yol f(x) – f(x0) ve geçen süre x – x0 olduğundan 

x0 ın yakınlarında seçilen her x için bu yolla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz x0 anındaki hızı aradığımız için x ≠ x0 olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak 

limiti varsa, bu limite x = x0 anındaki anlık hız denir.

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,  fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:  ve t anındaki ivmesi  olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

y = f(x) fonksiyonunun A(x₀, y₀) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için: m = tana dır.

Kural

y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türeviA(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.f'(x0) = m = tana dır.

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,olur.

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

Örnek: f(x) = x / (x²-1)  fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir?

Çözüm:

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için,

x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için,

x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

Uyarı

Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için, f(x₁) = f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

 

bir fonksiyon ve a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,olacak şekilde birp ∈ (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

Her x ∈ A için,

olacak şekilde bir p ∈ A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,olacak şekilde bir r ∈ (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

Her x ∈ A için,

olacak şekilde bir r ∈ A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

h > 0 olmak üzere,ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

Yerel minimum değer, f(x₀) dır.

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Sonuç

Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin – den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan – ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

[a, b] aralığında f ”(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f ”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

Uyarı

x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

Uyarı

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır. Bu aralıkta f ‘(x) < 0 dır.2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f ‘(x) > 0 dır.3. a < x < c için f ”(x) > 0 dır.4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f ‘(b) = 0 ve f ‘(d) = 0 dır.5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle, f ”(c) = 0 dır.

 

ASİMPTOT

Bir eğrinin herhangi bir kolu sonsuza giderken, aralarındaki uzaklığın sıfıra yakınsadığı ve eğrinin kolunu kesmeyen doğruya veya eğriye asimptot adı verilir.

DÜŞEY ASİMPTOT

Denklemi, a sabit bir reel sayı olmak üzere, x = a şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, a bir reel sayı olmak üzere, eğer;

veya,

ise, f eğrisinin düşey asimptotu vardır ve bu asimptot x = a’dır.

YATAY ASİMPTOT

Denklemi, c sabit bir reel sayı olmak üzere, y = c şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, c bir reel sayı olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin yatay asimptotu vardır ve bu asimptot y = c’dir.

EĞİK ASİMPTOT

Denklemi, m ve n sabit birer reel sayı olmak üzere, y = mx+n şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, m ve n birer reel sayı olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin eğik asimptotu vardır ve bu asimptot y = mx+n’dir.

EĞRİ ASİMPTOT

Denklemi bir eğri olan asimptotlara eğri asimptot denir.

f ve g birer eğri olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin eğri asimptotu vardır ve bu asimptot g eğrisidir.

 

Örnek: f(x) = x³ + kx² + 3x + 6 fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonksiyonunun grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre, k reel sayısı kaçtır?
Çözüm:
f(x) = x³ + kx² + 3x + 6 fonksiyonu verilmiş. f ‘(x) in grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre,
f”(–1) = –3 tür. O halde
f'(x) = 3x² + 2kx + 3
f”(x) = 6x + 2k
f”(–1) = 6.(–1) + 2k = –3
2k = 6 – 3
k=(2 / 3) bulunur.

Örnek:f(x) = x² + 4x + 1 fonksiyonuna x = –2 apsisli noktasından çizilen teğetinin denklemi nedir?
Çözüm:
f(–2) = (–2)² + 4.(–2) + 1 = –3 olup, A(–2, –3) noktasından çizilen teğetin denklemi isteniyor. Teğetin eğimi = f'(–2) dir.
f(x) = x² + 4x + 1 f'(x) = 2x + 4
x = –2 f'(–2) = 2.(–2) + 4 = 0 dır.
Teğetin eğimi sıfırdır.
Teğetin denklemi:
y – f(x₀) = f ‘ (x₀) (x – x₀)
y – (–3) = 0.(x – (–2))
y = –3 tür.
f ‘(–2) = 0 olduğundan bulunan teğetin x eksenine paralel olduğuna dikkat ediniz.

Örnek:f(x) = x³ – 12x + 1 eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri
y = 13x + 2 doğrusuna paraleldir?
Çözüm:
İstenen noktanın apsisi x₀ olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 15 olmalıdır. O halde f ‘(x₀) = 15 eşitliğini sağlayan x₀ değerlerini bulmalıyız.
f(x) = x³ – 12x + 1 f'(x) = 3x² – 12
f'(x₀) = 3x₀² – 12
15 = 3x₀² – 12

 3x₀² = 27 ise  x₀² = 9
x₀ = 3 veya  x₀ = –3 olur 
x₀ = 3 f(x₀) = f(3) = 33 – 12.3 + 1 = –8
x₀ = –3 f(x₀) = f(–3) = (–3)3 – 12.(–3) + 1 = 10
olup istenen noktalar (3, –8) ve (–3, 10) dur.

Burada bulunan Matematik Türev konu anlatımı yazılı dersi ile ilgili eklemek istedikerinizi Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]