Matematik Matris Determinant Formüller

MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

Birim Matris

Kare matriste asal köşegen dışındaki bütün elemanları sıfır matrise birim matris denir. (Çarpma işlemine göre)

Bir Matrisin Devriği (Transpozesi)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir. Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

Kare Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

Aynı türden Ave B matrisleri ile 1 birim matrisi için:
AB = BA = 1 (birim matris) koşulunu sağlayan A ve B matrisleri varsa B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Bu durumda A’ da B’ nin tersidir. (B^-1=A)

Kural

Bir A karesel matrisin tersini bulmak için A nın ek matrisi bulunur. Sonuç A nın determinantına bölünür.

Bir matrisin tersinin olması için, matrisin karesel ve determinantının kesinlikle sıfırdan farklı olması gerekir.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

A-1.A =A.A-1 = ı (A-1)-1 = A (A-1)T = (AT)-1  (k.A)-1 = (1/k).A-1    (K∈R) (A.B)-1 = B-1.A-1

İki Matrisin Toplamı

Satır ve sütün sayısı eşit iki matris toplanırken karşılıklı elemanlar toplanır.

İki Matrisin Çarpımı

Ave B gibi iki matrisin çarpımlarının tanımlı olabilmesi için; A matrisinin sütun sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması gerekir.
[A]_m.n ise [B]_n.p olmalıdır. [A].[B] = [A.B]_m.p dir.

Çarpım Yapılırken;

1. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 1. sütun elemanları ile çarpılıp toplanır. Bu AB çarpım matrisinin birinci elemanıdır. (a₁₁)
2. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 2. sütun elemanları ile karşılıklı çarpılıp toplanarak çarpım matrisinden a₁₂ elemanı elde edilir.
3. Bu çarpım A marisinin bütün satırları B matrisinin bütün sütunları ile çarpılıp mx; türündeki yeni matis elde edilinceye kadar devam eder.

Sarrus Kuralı Yöntemi

3. mertebeden determinantın hesabı için geçerli bir kuraldır.

Determinant Nedir? Determinant Hesaplama

a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ sayıları için biçiminde verilen bir kalıba 2. mertebeden bir determinant denir.
Burada:
a₁₁, a₁₂ : Birinci satır
a₂₁, a₂₂ : İkinci satır
a₁₁, a₂₁ : Birinci sütun
a₁₂, a₂₂ : İkinci sütun

Determinant elemanlarını a_ij ile gösterisek,
i : Satır numarası,
j : Sütün numarasıdır.
Örneğin: a₃₄ elemanı 3. satır, 4. sütün elemanı olur.Determinantın AçılımıBir determinant herhangi bir satıra (veya sütüna) göre açılımı, o satır elemanlarının kofaktörleri ile çarpımlarınn topamına eşittir. Buna determinantın değeri denir.

i = 1,2,3,…,m ve j = 1,2,3,…,n olmak koşulu ile a_ij gerçel sayılarının meydana detirdiği tabloya, m x n türünde matris denir.
Matisler [], (), || sembolleri arasına elemanların yazılmasıyla belirtilirler.

Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

A=[aij]mxn matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.i. satıra göre determinant:|A| = ai1.|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + … + ain.Ain + ai2.Ai2 + … + ain.Ainj. sütuna göre determinant: |A| = a1j.A1j + a2j.A2j + … + anj.Anj

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Matris Determinant Konu Anlatımı Yazılı

A. MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Burada a_ij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare matrislerde satır veya sütun sayısına matrisin mertebesi adı verilir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

A  kare matrisindeki a₁₁  a₂₂  a₃₃ a₄₄   terimlerinin oluşturduğu köşegene asal köşegen denir.

3. Birim Matris

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. örnekteki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

A=[a_ij]_mxn  ise A^T = [a_ji]_nxm   olur.

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matrisi bir reel sayı ile çarpmak demek, matrisin bütün elemanlarını, o reel sayı ile çarpmak demektir. Yani; r bir reel sayı, A bir matris ve A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ijolmak üzere; r.A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman r.a_ij‘dir. Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

A=[a_ij]_mxn  ve c∈ R  ise  c.A = [c.a_ij]_mxn  olur

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Sadece aynı türden olan matrisler toplanabilir. Matrisleri toplarken karşılıklı elemanlar toplanır. Yani; A ve B, m x n türünde iki matris, A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij ve B’nin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman b_ij olmak üzere, A+B matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij+b_ij‘dir.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij + b_ij]_mxn  olur.

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij – b_ij]_mxn  olur.

Özellik

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B iki matris olmak üzere; A.B çarpım matrisi ancak ve ancak A matrisinin sütun sayısı Bmatrisinin satır sayısına eşit olduğunda vardır ve A.B matrisinin, satır sayısı, A’nın satır sayısına, sütun sayısı ise B’nin sütun sayısına eşittir.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

A⁰ = I
A¹ = A
A² = A.A
…
Aⁿ = A^n-1.A

Ayrıca,

(A^m)ⁿ = A^m.n   olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir. Iⁿ = I

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır

Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir. |A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

Örnek:

1.1 Sarrus Kuralı

A = [a_ij]_3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a₁₁, a₂₂, a₃₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a₂₁, a₃₂, a₁₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a₃₁, a₁₂, a₂₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T₁ olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a₁₃, a₂₂, a₃₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a₂₃, a₃₂, a₁₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a₃₃, a₁₂, a₂₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T₂ olsun,

10. A matrisinin determinantı: detA = T₁ – T₂ dir.

2.Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

3. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

4. Determinantın Özellikleri

Özellik

Örnek:

Örnek:

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik İntegral Formüller

Burada bulunan Matematik İntegral Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

İlk olarak Türev konusunu öğrenmeden, integral konusunu çalışmaya başlamamalısınız.İntegral konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. integral Konu Anlatımı çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

integral konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (integral Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de integral formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(integral Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

integral Konu Anlatımı

Tanım: Türev kavramının bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğiminin bulunması probleminden ortaya çıktığını, türev bir değiflim oranı olduğundan hareket eden cisimlerin hız ve ivmeleri ya da buna benzer problemlerin çözümünde kullanılır. İntegral kavramına geometrik bir anlam vermek gerekirse bazı düzgün olmayan bölgeler alanlarının bulunması probleminden ortaya çıktığını söyleyebiliriz. İntegral, hareket problemleri, dönel cisimlerin hacimleri, iş, kütle, kütle merkezi ve eylemsizlik momenti bulunması; diğer bilim dalları ile ilgili pek çok problemlerin çözümünde kullanılır.
Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) in bir ilkel fonksiyonu veya integral denir.

A. DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir.

Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

dy = f ‘(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

B. BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f fonksiyonu olan bir F fonksiyonu verilsin. Bu durumda F fonksiyonuna f fonksiyonununbelirsiz integrali, ters türevi, ters diferansiyeli veya ilkeli adı verilir. Belirsiz integral aşağıdaki gibi ifade edilir:

Burada c reel sayısına integral sabiti veya integrasyon sabiti adı verilir. F fonksiyonunun türevi f fonksiyonu olduğundan F fonksiyonuna herhangi bir sabit eklenerek oluşturulan her fonksiyonun türevi de f’dir. Dolayısıyla F’yi tam olarak tespit etmek mümkün değildir. İntegral sabitinin belirsiz integral alındıktan sonra eklenmesinin sebebi budur. Yukarıdaki işlemde dx ifadesine ise integral değişkeni denir. İntegral değişkeni hangi değişkene göre integral alınacağını belirtir.

sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,

F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.

Örnek:

∫ 2x dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: Bu integrali hesaplamak için türevi 2x olan ifadeyi bulmak gerekir. Bu ifadenin x² olduğunu türev kavramından dolayı söyleyebiliriz. Şu halde

∫2xdx = ( x² / 2) +c  olur.

BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

-) Lineerlik özellikleri:

f ve g integrallenebilen iki fonksiyon, c sabit bir reel sayı olmak üzere,

eşitlikleri geçerlidir.

-) İntegral türevin tersidir. f integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

  eşitliği geçerlidir.

Uyarı

C. İNTEGRAL ALMA KURALLARI

Kural

n ¹ 0 olmak üzere,

Kural

Kural

Kural

Kural

Kural

Kural

Kural

Örnek:

∫(9x² + 6x – 3)dx integralini hesaplayınız.

Çözüm:

∫(9x² + 6x – 3)dx=9.∫x² dx+ 6 .∫x dx – 3.∫dx

=9.(x³ / 3)+6.(x² / 2) – 3x + c

=3x³ + 3x²  – 3x + c olur

D. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

Bazen integrali alınacak ifadenin (integrandın) hangi ifadenin türevi olduğunu görmek çok zordur. Bunun için bazı integrasyon metotları geliştirilmiştir. Şimdi bu metotlardan en kullanılışlı olanları verelim.

1. Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

Kural

n ¹ –1 olmak üzere,

Kural

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,  değişken değiştirmesi yapılır.

Kural

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, x = a × tantdeğişken değiştirmesi yapılır.

Kural

köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak için E.k.o.k.(m, n) = polmak üzere,ax + b = tpdeğişken değiştirmesi yapılır.

Örnek:  ∫(x³ – 2x)⁵ .(3x² – 2)dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: x³ + 2x =t   ⇒   (3x² – 2)dx = dt olup değerler yerine yazılırsa,

∫(x³ – 2x)⁵ .(3x² – 2)dx = ∫t⁵dt = t6/6 + c = [(x³ – 2x)⁶ / 6] + c

Örnek: ∫e^{sin x} .cos x dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: sin x = u   ⇒  cos x dx = du

∫e^{sin x} .cos x dx = ∫e^u .du =e^u + c =e^{sin x} + c

2. Kısmî İntegrasyon Yöntemi

u = f(x)

v = g(x)

olsun. u × v nin diferansiyeli,

d(u × v) = du × v + dv × u

olur. Buradan,

u × dv = d(u × v) – v × du

olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

Uyarı

Kural

integrallerinde;

Sonuç

n bir doğal sayı olmak üzere, f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,

3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.

integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.

a. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.

b. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;

P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.

4. Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi

Kural

sin x ve cos x in çift kuvvetlerinin çarpımı biçimindeki integrallerde şu iki özdeşlik kullanılır:

Kural

biçimindeki integralleri aşağıdaki özdeşlikler yardımıyla sonuçlandırırız.

A. BELİRLİ İNTEGRAL

a ve b noktalarını içeren veya uç nokta kabul eden, türevi f fonksiyonu olan bir F fonksiyonu verilsin. Bu durumda belirli integral aşağıdaki gibi ifade edilir:

Belirli integrallerde sonuç belirli olduğundan integral sabiti kullanılmaz.

Belirli integralin eşiti gösterimlerinden biriyle yapılır.

Uyarı

B. BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

Belirli integralde tıpkı belirsiz integralde olduğu gibi lineerlik özellikleri mevcuttur. Bunun dışında belirli integral aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Özellik

Kural

Kural

İki ya da daha fazla fonksiyonun toplamının ya da farkının belirli integrali, bu fonksiyonların ayrı ayrı belirli integrallerinin toplamına ya da farkına eşittir.

Kural

Örnek:

şeklinde tanımlanan s :[0,3] => R fonksiyonunun [0,3] aralığındaki integralini bulunuz.,

Çözüm: 

Örnek:

C. İNTEGRAL – TÜREV İLİŞKİSİ

Kural

f(x) in integralinin türevi f(x) e eşittir.

Kural

Kural

İNTEGRALİN UYGULAMALARI

Bu ders notumuzda bir  çok sınavda karşımıza çıkan ve çok önemli bir konu olan İntegral konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Kural

Kural

y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r ordinatı k; x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n ordinatı m dir. Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan, Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan,

Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Taralı alan,

Bu kurallar bütün paraboller için geçerlidir.

Kural

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kural

y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

x = g(y) eğrisi, y = c, y = d ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

y = g(x) eğrisi, x = a, x = b ve y = f(x) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Kural

x = f(y) eğrisi, y = c, y = d ve x = g(y) tarafından sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

Burada bulunan Matematik integral konu anlatımı ile ilgili Eklenmesini istediğiniz alanlar var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca konu anlatımı hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik İntegral Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

İntegral konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. İntegral konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

İntegral konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de İntegral formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(İntegral Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik İntegral Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Formüller

Burada bulunan Matematik Türev Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (Türev Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Türev Konu Anlatımı Yazılı

1. Türevin Tanımı

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşittir.

a reel sayısını bulunduran bir I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu için,

bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve bu değer f’nin a noktasındakitürevidir. f fonksiyonu tanımlı olduğu her aralıkta türevlenebilirse, bu türev değerlerinin oluşturduğu fonksiyona f’nin türev fonksiyonu denir ve f’ ile gösterilir.

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f ‘(x₀), Df(x₀) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

Uyarı

Örnek:

fonksiyonu için eğer varsa
a) f'(3) değerini bulalım.
b) f'(2) değerini bulalım.

Çözüm:
a) x = 3 > 2 olduğundan f'(3) için f(x) = 3x² – 6 dır

b) x = 2 kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri
bulunmalıdır.

Örnek: f(x) = |x² – 16| fonksiyonu için eğer varsa,

a) f'(3) türevini bulalım.
b) f'(4) türevini bulalım.
Çözüm:
a) x = 3 , f(x) = |x² – 16| fonksiyonu için bir kritik nokta
olmadığından

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

2. c Sabit Sayısının Türevi

3. c × f(x) in Türevi

4. Toplamın Türevi

5. Farkın Türevi

6. Çarpımın Türevi

7. Bölümün Türevi

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin. olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

Uyarı

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

fonksiyonu şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi olmak üzere,

f'(x) in türevi olan ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.Not 1 Arksinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arksinüsün görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, [kπ/2 , (k+2)π/2] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.Not 2 Arkkosinüs): Türev (-1,1) açık aralığında tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosinüsün görüntü kümesine göre değişir. Arkkosinüsün görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, [kπ , (k+1)π] kapalı aralığıdır. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar. 5) Arksekant fonksiyonunun türevi: Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arksekantın görüntü kümesine göre değişir. Arksekantın görüntü kümesi, k bir tamsayı olmak üzere, (kπ , (k+1/2)π) ∪ ((k+1/2)π , (k+1)π) kümesidir. Eğer k sayısı çift ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısı tek ise kök negatif olarak dışarı çıkar. 6) Arkkosekant fonksiyonunun türevi: Not: Türev R – [-1,1] kümesinde tanımlıdır ve kök içindeki ifadenin pozitif veya negatif olarak çıkması, arkkosekantın görüntü kümesine göre değişir. Arkkosekantın görüntü kümesi, k bir tek tamsayı olmak üzere, (kπ/2 , (k+1)π/2) ∪ ((k+1)π/2 , (k+2)π/2) kümesidir. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 3 ise kök pozitif olarak dışarı çıkar. Eğer k sayısının 4’e bölümünden kalan 1 ise kök negatif olarak dışarı çıkar.

Örnek:

f(x) = x² + 36x+1 fonksiyonu için, f ‘(1/2) değeri kaçtır?

Çözüm: f (x) = x² + 36x+1 ise f ‘(x) =2x+36

f ‘(1/2) = 2. (1/2)+36 = 37 dir.

Örnek:Uygun koşullarda f(x) = 3x². √f(x) + x + 2 koşulunu sağlayan f fonksiyonu için f(1) = 4 ise f'(1) değeri kaçtır?

Çözüm:f(x) = 3x². √f(x) + x + 2 ise  

 f ‘(x) =6x.√f(x) + 3x². [f ‘(x) / (2√f(x))] +1

x=1 için

 f ‘(1) =6.1.√f(1) + 31². [f ‘(1) / (2√f(1))] +1

 f ‘(1) =6.√4 + 3. [f ‘(1) / (2√4)] +1

 f ‘(1) =12+ (3/4). f ‘(1) + 1 =>  (1/4). f ‘(1) =13 => f ‘(1)=52 bulunur

Örnek:f(x) = x³ – 3ax + 2 fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
f'(2) = 6 olmalıdır.
f'(x) = 3x² – 3a olup f'(2) = 3. 22 – 3a = 6   =>  6 = 3a  =>  a = 2 dir.

Örnek:f(3x – 5) = 2x² + x – 1 olduğuna göre,  f'(1) + f(1) kaçtır?

Çözüm:  f(3x – 5) = 2x² + x – 1

f ‘(3x – 5).3 = 4x + 1
f ‘(3.2 – 5).3 = 4.2 + 1
f ‘(1).3 = 9
f ‘(1) = 3
f(3x – 5) = 2x² + x – 1
f(3.2 – 5) = 2.2² + 2 – 1
f(1) = 9
O halde, f ‘(1) + f(1) = 3 + 9 = 12 bulunur

Örnek:Parametrik denklemi
x = 3t³ + t + 2
y = t³ + 2t² – 1
olan y = f(x) fonksiyonu için türevinin t = 1 noktasındaki değeri kaçtır?

Çözüm:

Örnek:f(x) = 3cos²x +2xcotx fonksiyonunun x = -(π/4) apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm:
f(x) = 3cos²x + 2x . cotx
f ‘(x) = 3 . 2 . cosx . (–sinx) + 2cotx + 2x . [–(1+cot²x)]

TÜREVİN ANLAMI

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI

Bir doğru üzerinde y = f(x) denklemine göre hareket eden bir hareketlinin x0 anındaki hızını tanımlayalım.

x0 anının yakınlarında bir x alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan yol f(x) – f(x0) ve geçen süre x – x0 olduğundan 

x0 ın yakınlarında seçilen her x için bu yolla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz x0 anındaki hızı aradığımız için x ≠ x0 olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak 

limiti varsa, bu limite x = x0 anındaki anlık hız denir.

Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,  fonksiyonu ile verilsin.

Hareketlinin t anındaki hızı:  ve t anındaki ivmesi  olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

y = f(x) fonksiyonunun A(x₀, y₀) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için: m = tana dır.

Kural

Kural

Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,olur.

Kural

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı – 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

Örnek: f(x) = x / (x²-1)  fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir?

Çözüm:

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için,

x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için,

x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

Uyarı

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.

Her x₁, x₂ ∈ B için, f(x₁) = f(x₂) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ

1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,olacak şekilde birp ∈ (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.

Her x ∈ A için,

olacak şekilde bir p ∈ A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b ∈ A olsun.Her x ∈ (a, b) için,olacak şekilde bir r ∈ (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.

Her x ∈ A için,

olacak şekilde bir r ∈ A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

Tanım

Kural

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

h > 0 olmak üzere,ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.

Yerel minimum değer, f(x₀) dır.

Uyarı

Sonuç

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

1. Konveks Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

2. Konkav Eğriler

f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

a, b] aralığında f ”(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.

Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

3. Dönüm (büküm) Noktası

f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.

Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

Uyarı

Uyarı

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır. Bu aralıkta f ‘(x) < 0 dır.2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f ‘(x) > 0 dır.3. a < x < c için f ”(x) > 0 dır.4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f ‘(b) = 0 ve f ‘(d) = 0 dır.5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle, f ”(c) = 0 dır.

ASİMPTOT

Bir eğrinin herhangi bir kolu sonsuza giderken, aralarındaki uzaklığın sıfıra yakınsadığı ve eğrinin kolunu kesmeyen doğruya veya eğriye asimptot adı verilir.

DÜŞEY ASİMPTOT

Denklemi, a sabit bir reel sayı olmak üzere, x = a şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, a bir reel sayı olmak üzere, eğer;

veya,

ise, f eğrisinin düşey asimptotu vardır ve bu asimptot x = a’dır.

YATAY ASİMPTOT

Denklemi, c sabit bir reel sayı olmak üzere, y = c şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, c bir reel sayı olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin yatay asimptotu vardır ve bu asimptot y = c’dir.

EĞİK ASİMPTOT

Denklemi, m ve n sabit birer reel sayı olmak üzere, y = mx+n şeklinde olan asimptotlardır.

f bir eğri, m ve n birer reel sayı olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin eğik asimptotu vardır ve bu asimptot y = mx+n’dir.

EĞRİ ASİMPTOT

Denklemi bir eğri olan asimptotlara eğri asimptot denir.

f ve g birer eğri olmak üzere, eğer;

ise, f eğrisinin eğri asimptotu vardır ve bu asimptot g eğrisidir.

Örnek: f(x) = x³ + kx² + 3x + 6 fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonksiyonunun grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre, k reel sayısı kaçtır?
Çözüm:
f(x) = x³ + kx² + 3x + 6 fonksiyonu verilmiş. f ‘(x) in grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna göre,
f”(–1) = –3 tür. O halde
f'(x) = 3x² + 2kx + 3
f”(x) = 6x + 2k
f”(–1) = 6.(–1) + 2k = –3
2k = 6 – 3
k=(2 / 3) bulunur.

Örnek:f(x) = x² + 4x + 1 fonksiyonuna x = –2 apsisli noktasından çizilen teğetinin denklemi nedir?
Çözüm:
f(–2) = (–2)² + 4.(–2) + 1 = –3 olup, A(–2, –3) noktasından çizilen teğetin denklemi isteniyor. Teğetin eğimi = f'(–2) dir.
f(x) = x² + 4x + 1 f'(x) = 2x + 4
x = –2 f'(–2) = 2.(–2) + 4 = 0 dır.
Teğetin eğimi sıfırdır.
Teğetin denklemi:
y – f(x₀) = f ‘ (x₀) (x – x₀)
y – (–3) = 0.(x – (–2))
y = –3 tür.
f ‘(–2) = 0 olduğundan bulunan teğetin x eksenine paralel olduğuna dikkat ediniz.

Örnek:f(x) = x³ – 12x + 1 eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri
y = 13x + 2 doğrusuna paraleldir?
Çözüm:
İstenen noktanın apsisi x₀ olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 15 olmalıdır. O halde f ‘(x₀) = 15 eşitliğini sağlayan x₀ değerlerini bulmalıyız.
f(x) = x³ – 12x + 1 f'(x) = 3x² – 12
f'(x₀) = 3x₀² – 12
15 = 3x₀² – 12

 3x₀² = 27 ise  x₀² = 9
x₀ = 3 veya  x₀ = –3 olur 
x₀ = 3 f(x₀) = f(3) = 33 – 12.3 + 1 = –8
x₀ = –3 f(x₀) = f(–3) = (–3)3 – 12.(–3) + 1 = 10
olup istenen noktalar (3, –8) ve (–3, 10) dur.

Burada bulunan Matematik Türev konu anlatımı yazılı dersi ile ilgili eklemek istedikerinizi Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Türev Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Limit ve Süreklilik konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hem de öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Limit ve Süreklilik konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Limit ve Süreklilik konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Limit ve Süreklilik formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hem de farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hem de çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hem de  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Limit nedir ?

Limit kavramı ve tanımı, kavram olarak eski olmasına kaşın, tanımlanması ve kullanılması çok eski değildir. Örneğin limit ünlü ε−δ tekniği ile tanımlanması ve kullanılması ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine (1821-1881) tarafından olmştur. Limit fizik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılılır. Limit kavramının öğrencilere verilmesi, tanıtılması, öğretilmesi ve öğrenilmesi öyle o kadar da kolay değildir. Bunun için, limitin tanıtılmasına önce sezgisel olarak yaklaşalım. Daha sonra tam tanımını verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktası bir a noktasına yeteri kadar yaklaşsın. x noktasının a noktasına reel eksen üzerinde sağdan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklaşımı vardır.

Burada, x değerinin a değerine eşit olması gerekmez. Bir çok durumda, a noktası, f(x) fonksiyonunun tanım bölgesinde olmayabilir. Yani, x noktası a noktasına (x≠a) sağdan ve soldan yaklaşırken f(x) fonksiyonu bir L sayısına yaklaşıyorsa f(x) fonksiyonunun bu a noktasında limiti vardır denir ve kısaca limit

LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x₁, y₄) , B(x₂, y₃) , C(x₃, y₂) , D(x₄, y₁), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x₁, x₂, x₃, x₄, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x₁) = y₄, f(x₂) = y₃, f(x₃) = y₂, f(x₄) = y₁, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.  

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x₈, y₅) , F(x₇, y₆) , G(x₆, y₇) , H(x₅, y₈) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x₈, x₇ , x₆ , x₅ , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x₈) = y₅ , f(x₇) = y_{6 ,} f(x₆) = y₇ , f(x₅) = y₈ , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun. Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H.  NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu  olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu  olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

Kural

m, n Î N olmak üzere, olur.

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler, kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği  veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural

Konu ile Alakalı Çözümlü Örnekler 

………………………………………………………………………………………….	………………………………………………………………………….

II. SÜREKLİLİK

Süreklilik nedir?
Limit kavramı ile süreklilik kavramının birbiriyle çok yakın ilşkisi vardır. Kısaca söylemek gerekirse, süreklilik bir limit problemidir.
A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a ∈ A olsun. Eğer Lim f(x) ( x →  a ) limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse,ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir.

Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı

Kural

SAĞDAN SÜREKLİLİK

a bir reel sayı; I, a’yı eleman kabul eden bir açık aralık; f ise I’da tanımlı olan reel değerli bir fonksiyon olsun.

ise f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir.

SOLDAN SÜREKLİLİK

a bir reel sayı; I, a’yı eleman kabul eden bir açık aralık; f ise I’da tanımlı olan reel değerli bir fonksiyon olsun.

ise f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir.

L’HOSPİTAL KURALI

A. L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,

belirsizlikleri,  belirsizliklerinden birine dönüştürülerek,

L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

Kural

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun. Her x Î (a, b) için g’(x) ¹ 0 ve c Î (a, b) olmak üzere,Eğer,  ise yukarıdaki kural birdaha uygulanır.

Uyarı

L’ Hospital kuralında  belirsizliğini ortadan kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

Kural

Sonusz × 0 belirsizliğinde, düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir. ¥– ¥ belirsizliğinde, düzenlemesiyle sonuca gidilir. 00, ¥ , 1¥ belirsizliklerinde,  tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.

Konu ile Alakalı Çözümlü Örnekler 

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Limit ve Süreklilik konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Limit ve Süreklilik konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Limit ve Süreklilik konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Limit ve Süreklilik formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Formüller

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

En Geniş Tanım Aralığı

f:A→B olmak üzere,

1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.

2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.

3) ²ⁿ√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.

4) ²ⁿ⁺¹√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.

5) log_ab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.

6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri

f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.

f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

Burada bulunan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Konu Anlatımı Yazılı

Bu ders notumuzda bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

ÖRNEK 1:

f(x)=√x²+3x+4a+1 fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlı ise a nedir ?

ÇÖZÜM 1:

x²+3x+4a+1≥0 olmalı burada ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olması için,

D≤0 olmalıdır. Çünkü D<0 ve eşitlik durumunda tabloda işaret değişmez. Tüm reel sayılarda tanımlı olur.

9-4.(4a+1)≤0 ise

a≥5/16 ise a nın değer aralığı [5/16,&) bulunur.

—————————————————————————-

ÖRNEK 2:

f(x)=√log₂(x-4)-5

fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?

ÇÖZÜM 2:

log₂(x-4)-5≥0 aynı zamanda x-4>0 , x>4 olmalı.

(x-4)≥32

x≥36 olur o halde tanım aralığı [36,&) olur.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu escort bakırköy her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

Örnekler:

Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarını inceleyelim.

f(x)=x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.

f(x)=x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluştuğu için tek fonksiyondur

f(x)=x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.

f(x)=x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumunu inceleyelim. f(-x)=-x.|-x|=-f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

—————————————————————————————————————

SORU 1:

f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetriktir.

f(x)+3f(-x)=x³+x

ise f(2)=?

ÇÖZÜM 1:

Grafiğin orjine escort bayan bakırköy göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlarız.

f(-x)=-f(x) yazabliriz.

f(x)-3f(x)=x³+x

-2f(x)=x³+x

x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.

-2f(2)=10 ise f(2)=-5 bulunur.

—————————————————————————–

SORU 2:

f(x) fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.

f(x)-x².f(-x)=5x

ise f(4)=?

ÇÖZÜM 2:

Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çift fonksiyondur.

f(-x)=f(x) yazalım.

f(x)-x².f(x)=5x ise f(x)[1-x²]=5x olduğuna göre x=4 yazarsak,

f(4)=20/-15=-4/3 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 3:

f(x)=(a-2)x³+x²+(4-b)x+3 fonksiyonu çift fonksiyon ise a.b=?

ÇÖZÜM 3:

Fonksiyon çift fonksiyon olduğuna göre, derecesi tek olan ifadelerin katsayılarını 0 yapmalıyız.

O halde a=2 ve b=4 olur. a.b=8 bulunur.

————————————————————————–

SORU 4:

f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere,

f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesinin eşiti nedir ?

ÇÖZÜM 4:

f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x) şeklindedir.

f(-5)=-f(5) =>f(5)=-3 olur.

g(-3)+g(-3)=2g(-3)=2.7=14 bulunur.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

SORU 1:

olduğuna göre f(2)+f(-1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

x=2 olması 2. ifadede 2 değerini yazacağımızı gösterir. f(2)=5.2³-4=40
x=-1 olması 1. ifadede -1 değerini yazacağımızı gösterir. f(-1)=3.(-1)³+2.(-1)+1=-4
40-4=36 bulunur.

—————————————————————————

SORU 2:

olduğuna göre f(3).f(4)-f(3) ifadesinin sonucu kaçtır ?

ÇÖZÜM 2:

f(3) ifadesinde x=3 değeri 1. ifadede 3 yazmamızı gerektirir, çünkü 3 mod3 de 0 kalanını verir. x yerine 3 yazarsak ifade 9 olur.
f(4) ifadesi için x=4 yazdığımızda mod 3 de 1 kalanını verir o halde 4²+1=17 olur.

9.17-9=144 bulunur.

——————————————————————————

SORU 3:

olduğuna göre fofof(1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

f(f(f(1))) ifadesi soruluyor.

f(1) için 1 tek olduğundan 2. de yerine yazarız. 1+3=4 olur.

f(4) için 4 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 4/2=2 olur.

f(2) için 2 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 2/2=1 olur.

f(2) son elde edeceğimiz sonuç olduğundan cevap 1 dir.

————————————————————————-

SORU 4:

fonksiyonu hangi değerler için tanımsızdır ?

ÇÖZÜM 4:

x²-16=0 olursa 1. ifade için tanımsız yapan değeri buluruz
x=±4 için tanımsızdır ancak 1. ifade için aralık x<-1 olduğundan -4 değerini alırız.

x-4≤0 olursa 2. ifade için tanımsız yapan değerler bulunur.
burada x=3,4 değerleri için tanımsızdır.

fonksiyon -4,3,4 değerleri olmak üzere 3 değer için tanımsızdır.

SORU 5:

olduğuna göre fofof(1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 5:

f(f(f(1))) ifadesi soruluyor.

f(1) için 1 tek olduğundan 2. de yerine yazarız. 1+3=4 olur.

f(4) için 4 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 4/2=2 olur.

f(2) için 2 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 2/2=1 olur.

f(2) son elde edeceğimiz sonuç olduğundan cevap 1 dir.

————————————————————————-

SORU 6:

fonksiyonu hangi değerler için tanımsızdır ?

ÇÖZÜM 6:

x²-16=0 olursa 1. ifade için tanımsız yapan değeri buluruz
x=±4 için tanımsızdır ancak 1. ifade için aralık x<-1 olduğundan -4 değerini alırız.

x-4≤0 olursa 2. ifade için tanımsız yapan değerler bulunur.
burada x=3,4 değerleri için tanımsızdır.

fonksiyon -4,3,4 değerleri olmak üzere 3 değer için tanımsızdır.

Örnek:7

Örnek:

ÇÖZÜM 7:

Not:Parçalı fonksiyonlarda her fonksiyon tanımlandığı aralıkta çizilir.

    f(x)=-x  fonksiyonu x<2  aralığında tanımlandığından 2den büyük kısmını sileriz. f(x)=-10  fonksiyonu   2 ve 2 den büyük aralıkta tanımlandığın için bu aralıktaki kısmını alırız.

Burada bulunan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]