Matematik Matris Determinant Formüller

MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

Birim Matris

Kare matriste asal köşegen dışındaki bütün elemanları sıfır matrise birim matris denir. (Çarpma işlemine göre)

Bir Matrisin Devriği (Transpozesi)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir. Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

Kare Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

Aynı türden Ave B matrisleri ile 1 birim matrisi için:
AB = BA = 1 (birim matris) koşulunu sağlayan A ve B matrisleri varsa B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Bu durumda A’ da B’ nin tersidir. (B^-1=A)

Kural

Bir A karesel matrisin tersini bulmak için A nın ek matrisi bulunur. Sonuç A nın determinantına bölünür.

Bir matrisin tersinin olması için, matrisin karesel ve determinantının kesinlikle sıfırdan farklı olması gerekir.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

A-1.A =A.A-1 = ı (A-1)-1 = A (A-1)T = (AT)-1  (k.A)-1 = (1/k).A-1    (K∈R) (A.B)-1 = B-1.A-1

İki Matrisin Toplamı

Satır ve sütün sayısı eşit iki matris toplanırken karşılıklı elemanlar toplanır.

İki Matrisin Çarpımı

Ave B gibi iki matrisin çarpımlarının tanımlı olabilmesi için; A matrisinin sütun sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması gerekir.
[A]_m.n ise [B]_n.p olmalıdır. [A].[B] = [A.B]_m.p dir.

Çarpım Yapılırken;

1. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 1. sütun elemanları ile çarpılıp toplanır. Bu AB çarpım matrisinin birinci elemanıdır. (a₁₁)
2. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 2. sütun elemanları ile karşılıklı çarpılıp toplanarak çarpım matrisinden a₁₂ elemanı elde edilir.
3. Bu çarpım A marisinin bütün satırları B matrisinin bütün sütunları ile çarpılıp mx; türündeki yeni matis elde edilinceye kadar devam eder.

Sarrus Kuralı Yöntemi

3. mertebeden determinantın hesabı için geçerli bir kuraldır.

Determinant Nedir? Determinant Hesaplama

a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ sayıları için biçiminde verilen bir kalıba 2. mertebeden bir determinant denir.
Burada:
a₁₁, a₁₂ : Birinci satır
a₂₁, a₂₂ : İkinci satır
a₁₁, a₂₁ : Birinci sütun
a₁₂, a₂₂ : İkinci sütun

Determinant elemanlarını a_ij ile gösterisek,
i : Satır numarası,
j : Sütün numarasıdır.
Örneğin: a₃₄ elemanı 3. satır, 4. sütün elemanı olur.Determinantın AçılımıBir determinant herhangi bir satıra (veya sütüna) göre açılımı, o satır elemanlarının kofaktörleri ile çarpımlarınn topamına eşittir. Buna determinantın değeri denir.

i = 1,2,3,…,m ve j = 1,2,3,…,n olmak koşulu ile a_ij gerçel sayılarının meydana detirdiği tabloya, m x n türünde matris denir.
Matisler [], (), || sembolleri arasına elemanların yazılmasıyla belirtilirler.

Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

A=[aij]mxn matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.i. satıra göre determinant:|A| = ai1.|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + … + ain.Ain + ai2.Ai2 + … + ain.Ainj. sütuna göre determinant: |A| = a1j.A1j + a2j.A2j + … + anj.Anj

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Matris Determinant Konu Anlatımı Yazılı

A. MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Burada a_ij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare matrislerde satır veya sütun sayısına matrisin mertebesi adı verilir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

A  kare matrisindeki a₁₁  a₂₂  a₃₃ a₄₄   terimlerinin oluşturduğu köşegene asal köşegen denir.

3. Birim Matris

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. örnekteki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

A=[a_ij]_mxn  ise A^T = [a_ji]_nxm   olur.

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matrisi bir reel sayı ile çarpmak demek, matrisin bütün elemanlarını, o reel sayı ile çarpmak demektir. Yani; r bir reel sayı, A bir matris ve A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ijolmak üzere; r.A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman r.a_ij‘dir. Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

A=[a_ij]_mxn  ve c∈ R  ise  c.A = [c.a_ij]_mxn  olur

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Sadece aynı türden olan matrisler toplanabilir. Matrisleri toplarken karşılıklı elemanlar toplanır. Yani; A ve B, m x n türünde iki matris, A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij ve B’nin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman b_ij olmak üzere, A+B matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij+b_ij‘dir.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij + b_ij]_mxn  olur.

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij – b_ij]_mxn  olur.

Özellik

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B iki matris olmak üzere; A.B çarpım matrisi ancak ve ancak A matrisinin sütun sayısı Bmatrisinin satır sayısına eşit olduğunda vardır ve A.B matrisinin, satır sayısı, A’nın satır sayısına, sütun sayısı ise B’nin sütun sayısına eşittir.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

A⁰ = I
A¹ = A
A² = A.A
…
Aⁿ = A^n-1.A

Ayrıca,

(A^m)ⁿ = A^m.n   olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir. Iⁿ = I

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır

Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir. |A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

Örnek:

1.1 Sarrus Kuralı

A = [a_ij]_3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a₁₁, a₂₂, a₃₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a₂₁, a₃₂, a₁₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a₃₁, a₁₂, a₂₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T₁ olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a₁₃, a₂₂, a₃₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a₂₃, a₃₂, a₁₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a₃₃, a₁₂, a₂₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T₂ olsun,

10. A matrisinin determinantı: detA = T₁ – T₂ dir.

2.Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

3. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

4. Determinantın Özellikleri

Özellik

Örnek:

Örnek:

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik İntegral Formüller

Burada bulunan Matematik İntegral Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik İntegral Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

İntegral konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. İntegral konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

İntegral konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de İntegral formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(İntegral Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik İntegral Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Formüller

Burada bulunan Matematik Türev Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı

Matematik Türev Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Türev konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Türev konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Türev konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Türev formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Türev Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Türev Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Limit ve Süreklilik konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hem de öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Limit ve Süreklilik konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Limit ve Süreklilik konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın devamında yer alan yazılı konu anlatımı bulunuyor 2. olarak ise  Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz (Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı Video) yer almaktadır, ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Limit ve Süreklilik formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımları sayfamıza geçerek istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hem de farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimiz ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hem de çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Burada aşağıya da ekleyeceğimiz bazı pratik yöntemlere de bakarak ve daha çok test çözerek hem konuyu hem de  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Limit nedir ?

Limit kavramı ve tanımı, kavram olarak eski olmasına kaşın, tanımlanması ve kullanılması çok eski değildir. Örneğin limit ünlü ε−δ tekniği ile tanımlanması ve kullanılması ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine (1821-1881) tarafından olmştur. Limit fizik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılılır. Limit kavramının öğrencilere verilmesi, tanıtılması, öğretilmesi ve öğrenilmesi öyle o kadar da kolay değildir. Bunun için, limitin tanıtılmasına önce sezgisel olarak yaklaşalım. Daha sonra tam tanımını verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktası bir a noktasına yeteri kadar yaklaşsın. x noktasının a noktasına reel eksen üzerinde sağdan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklaşımı vardır.

Burada, x değerinin a değerine eşit olması gerekmez. Bir çok durumda, a noktası, f(x) fonksiyonunun tanım bölgesinde olmayabilir. Yani, x noktası a noktasına (x≠a) sağdan ve soldan yaklaşırken f(x) fonksiyonu bir L sayısına yaklaşıyorsa f(x) fonksiyonunun bu a noktasında limiti vardır denir ve kısaca limit

LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve  biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x₁, y₄) , B(x₂, y₃) , C(x₃, y₂) , D(x₄, y₁), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x₁, x₂, x₃, x₄, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x₁) = y₄, f(x₂) = y₃, f(x₃) = y₂, f(x₄) = y₁, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.  

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x₈, y₅) , F(x₇, y₆) , G(x₆, y₇) , H(x₅, y₈) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x₈, x₇ , x₆ , x₅ , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x₈) = y₅ , f(x₇) = y_{6 ,} f(x₆) = y₇ , f(x₅) = y₈ , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun. Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H.  NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu  olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu  olmak üzere,  koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

Kural

m, n Î N olmak üzere, olur.

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler, kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği  veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural

Konu ile Alakalı Çözümlü Örnekler 

………………………………………………………………………………………….	………………………………………………………………………….

II. SÜREKLİLİK

Süreklilik nedir?
Limit kavramı ile süreklilik kavramının birbiriyle çok yakın ilşkisi vardır. Kısaca söylemek gerekirse, süreklilik bir limit problemidir.
A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a ∈ A olsun. Eğer Lim f(x) ( x →  a ) limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse,ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir.

Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı

Kural

SAĞDAN SÜREKLİLİK

a bir reel sayı; I, a’yı eleman kabul eden bir açık aralık; f ise I’da tanımlı olan reel değerli bir fonksiyon olsun.

ise f fonksiyonu a noktasında sağdan süreklidir.

SOLDAN SÜREKLİLİK

a bir reel sayı; I, a’yı eleman kabul eden bir açık aralık; f ise I’da tanımlı olan reel değerli bir fonksiyon olsun.

ise f fonksiyonu a noktasında soldan süreklidir.

L’HOSPİTAL KURALI

A. L’HOSPİTAL KURALI

Bir fonksiyonun x = a noktasındaki limiti hesaplanırken karşımıza çıkan,

belirsizlikleri,  belirsizliklerinden birine dönüştürülerek,

L’ Hospital Kuralı yardımıyla sonuçlandırılır.

Kural

f ve g, (a, b) aralığında türevlenebilir olsun. Her x Î (a, b) için g’(x) ¹ 0 ve c Î (a, b) olmak üzere,Eğer,  ise yukarıdaki kural birdaha uygulanır.

Uyarı

L’ Hospital kuralında  belirsizliğini ortadan kaldırmak için, yapılan işlemin: Payın türevini paya, paydanın türevini paydaya yazmak olduğuna dikkat ediniz.

Kural

Sonusz × 0 belirsizliğinde, düzenlemelerinden biriyle sonuca gidilir. ¥– ¥ belirsizliğinde, düzenlemesiyle sonuca gidilir. 00, ¥ , 1¥ belirsizliklerinde,  tabanında logaritma alınarak sonuca gidilir.

Konu ile Alakalı Çözümlü Örnekler 

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Limit ve Süreklilik Formüller

• x değişkeni a sayısına, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma deriz ve x ⇒ a^– şeklinde gösteririz.
• x değişkeni a sayısına, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma deriz ve x  ⇒ a⁺şeklinde gösteririz.
• x değişkeni bir a noktasına sağdan yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) = L biçiminde gösterilir.
• x değişkeni bir a noktasına soldan yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun soldan limiti denir ve lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) = K biçiminde gösterilir.
• lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) = lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) ise lim_{x  ⇒ a} f(x) = L
• lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) ≠ lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) ise limit yoktur

Limitin Özellikleri

• lim_{x  ⇒ a} f(x) = L₁ , lim_{x  ⇒ a} g(x) = L₂  ve L₁ , L₂ , c ∈R olmak üzere
• lim_{x  ⇒ a} c=c
• lim_{x  ⇒ a} (f(x)∓g(x)) = L₁ ∓ L₂
• lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = L₁ / L₂   L₂  ≠ 0
• lim_{x  ⇒ a} (c.f(x))=c.lim_{x  ⇒ a} f(x) = c.L₁
• lim_{x  ⇒ a} [f(x)]ⁿ = [lim_{x  ⇒ a} f(x)]ⁿ =(L₁)ⁿ
• lim_{x  ⇒ a} (f(x).g(x)) = L₁ . L₂
• lim_{x  ⇒ a} |f(x)| =|lim_{x  ⇒ a} f(x)| = |L₁|
• 
• lim_{x  ⇒ a} c^f(x) = c^{lim_{x  ⇒ a} f(x)} = (c)^L₁

NOT:

Sıkıştırma Teoremi

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

lim_{x  ⇒ a} f(x) = lim_{x  ⇒ a} g(x) = 1 ise

lim_{x  ⇒ a} h(x) =1 dir

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

• lim_{x  ⇒ a}  sin x = sin a   
• lim_{x  ⇒ a}  cos x= cos a 
• lim_{x  ⇒ a} tan x  = tan a   (cos a  ≠ 0)
• lim_{x  ⇒ a}  cot x = cot a   (sin a   ≠ 0)
• lim_{x  ⇒ 0} f(x) = [(sin ax)/(bx)] = a/b
• lim_{x  ⇒ 0} f(x) = [(tan ax)/(bx)] = a/b
• lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = [(sin x)/(x)] = lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = [(cos x)/(x)] = 0

 Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

Reel sayılar kümesine +∞ ve -∞ un katılmasıyla elde edilen kümeye genişletilmiş reel sayılar kümesi denir ve  ile gösterilir.

• Yani = R  ∪ {+∞ , -∞}  dur. Genişletilmiş reel sayılar kümesinde x  ⇒ ∓∞ için limitleri inceleriz.
  f(x) =a_nxⁿ +  a_n-1x^n-1 +  … a₁x¹ + a₀ polinom fonksiyonunda, lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = lim_{x  ⇒ ∞}a_nxⁿ  dir
• a>1 ise     lim_{x  ⇒ ∞}a^x = ∞       lim_{x  ⇒ -∞}a^x = 0

• 0<a<1     lim_{x  ⇒ ∞}a^x = 0         lim_{x  ⇒ -∞}a^x = ∞

Belirsizlikler:

0/0 Belirsizliği

lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = 0/0   oluyorsa kesrin pay ve paydası (x-a) parantezine alınarak sadeleştirme yapılarak sonuç bulunur. Sadeleştirme yapılamıyorsa L’HOSPİTAL yöntemi kullanılır.

L’HOSPİTAL YÖNTEMİ

f:[a,b]⇒R ve g:[a,b]⇒R olmak üzere (a,b) aralığında sürekli ve türevlenebilen iki fonksiyon olsun.

lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = 0/0  ise lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) =lim_{x  ⇒ a} (f ‘(x)/g ‘(x)) = (f ‘(a)/g ‘(a))

lim_{x  ⇒ ∞} (f(x)/g(x)) = 0/0  ise lim_{x  ⇒ ∞} (f(x)/g(x)) =lim_{x  ⇒ ∞} (f ‘(x)/g ‘(x))

∞/∞ Belirsizliği

∞.0 Belirsizliği

Bu tür belirsizliklerde çarpanlardan birinin çarpmaya göre tersi alınarak 0/0  veya ∞/∞ belirsizliklerinden birine dönüştürülerek çözüm yapılır.

∞ – ∞ Belirsizliği

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular videolarından, sincan escort Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı Yazılı Kısmı Biraz Uzun Olduğundan Farklı Bir Sayfaya Taşınmıştır

Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.

Bu derse nasıl çalışmanız gerektiği ile ilgili bir kaç küçük öneride bulunursak;

Limit ve Süreklilik konusuda diğer LYS matematik konuları gibi öğrencilerin gözünde korkulan bir konudur ama düzenli çalışma tekrar ve pratik yollar ile konu hem rahat bir şekilde öğrenilebilir hemde öğrenme aşaması zevkli bir hal alarak sıkıcılıktan kendimizi kurtarabiliriz. Limit ve Süreklilik konusuna çalışmaya başlamadan önce ilk olarak bu konuyla alakalı kafamızda oluşturduğumuz ön yargıları kaldırıp bu derse olumlu bir şekilde bakarak “Ben bu dersi rahatlıkla öğrenebilirim ve yapabilirim” diyerek başlayın.

Limit ve Süreklilik konu anlatımı olarak bakıldığında diğer kısa anlatımı olan matematik konuları içinde yer almıyor ama birçok konu da yer alan kafa çeldirici soruların bu konu içinde çok fazla bulunmaması ise sizin avantajınız haline gelebilir. Çünkü düz mantık  formülü yerine koy çözümü al sistemi bu konu içinde daha etkidir. Eğitim-Dünyası olarak bu konuyu, biraz uzun olması hasebiyle 3 e bölmüş bulunmaktayız. ilk olarak burada yazımızın yukarısında yer alan Türkiye’nin internette en çok tercih edildiğini düşündüğümüz 8 tane farklı hocasının videolu  konu anlatımlarının bulunduğu konumuz yer almaktadır, 2. olarak ise yazılı konu anlatımı bulunuyor(Yazılı Konu Anlatımına Ulaşmak İçin Tıklayınız.) ardından ve 3. olarak ise konu dersini tamamen çalıştıktan sonra konuyu iyice pekiştirmenizi sağlayacak olan yine farklı hocaların anlatımıyla çözümlü sorular yer almaktadır  ve bu çözümlü soruların içinde LYS de çıkmış sorularda çözümleriyle birlikte video olarak bulunmaktadır. Tabi buraya bir de Limit ve Süreklilik formüllerini eklemiş bulunmaktayız .(Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular ve Formüller)

Şimdi bu kadar anlatımın ve çözümlü sorunun yer aldığı dökümanları sağladıktan sonra basit bir şekilde nasıl etkili kullanabileceğiniz ile alakalı kendi yöntemimizi de aktaralım öncelikle yazılı anlatımda verdiğimiz konuyu şöyle bir göz ucuyla okuyun ardından video konu anlatımlarından istediğiniz hocadan (Burada bir hoca tavsiye etmiyoruz çünkü herkesin sevdiği tarz faklıdır, zaten sitemizden diğer derslere çalıştıysanız sabit takip etmek istediğiniz bir hoca mutlaka olacaktır) konu anlatımını biraz aralar vererek ve notlar alarak dinleyin verdiğiniz aralarda derse devam etmeden önce aldığınız notları bir kere okuyun ondan sonra derse devam edin, eğer dinlediğiniz hocadan çok bir şey anlamadığınızı düşünüyorsanız diğer hocaların anlatımlarını dinleyerek, hem bir nevi tekrar hemde farklı bir bakış açısı kazanarak konuyu daha iyi özümseyebilirsiniz ve konu anlatımını bitirdikten sonra varsa elinizdeki test kitaplarından bir test çözmeye çalışın, buradaki amaç bir nevi ilk başta kendinizi denemek, kesinlikle çok çözemediğiniz soru olursa kendinizi kötü hissetmeyin söylediğim gibi daha dersi bitirmedik sadece kendimizi denedik burada iyi kötü kendimizi ve takıldığımız noktaları görmüş olduk ve sırada  3. olarak bahsettiğimiz çıkmış ve normal soruların çözümleriyle beraber yer aldığı sayfamıza giderek buradaki hocalarımızın soru çözümlerini izleyiniz. Böylelikle hem çözdüğünüz testteki eksikliklerinizi giderebilirsiniz hemde çeşitli hocaların farklı sorulardaki çözümlerini izlediğiniz için sorular hakkında daha detaylı bakış açıları kazanarak konuyu çok iyi kavramış olursunuz. Bunlarlada kalmayıp daha çok test çözerek hem konuyu hemde  formülleri çok çaba sarf etmeden mantığıyla birlikte öğrenmiş olacaksınız. Dilimiz sürçtüyse affola, egitim-dunyasi.net olarak başarılar dileriz

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Formüller

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

En Geniş Tanım Aralığı

f:A→B olmak üzere,

1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.

2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.

3) ²ⁿ√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.

4) ²ⁿ⁺¹√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.

5) log_ab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.

6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri

f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.

f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

Burada bulunan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Konu Anlatımı Yazılı

Bu ders notumuzda bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

ÖRNEK 1:

f(x)=√x²+3x+4a+1 fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlı ise a nedir ?

ÇÖZÜM 1:

x²+3x+4a+1≥0 olmalı burada ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olması için,

D≤0 olmalıdır. Çünkü D<0 ve eşitlik durumunda tabloda işaret değişmez. Tüm reel sayılarda tanımlı olur.

9-4.(4a+1)≤0 ise

a≥5/16 ise a nın değer aralığı [5/16,&) bulunur.

—————————————————————————-

ÖRNEK 2:

f(x)=√log₂(x-4)-5

fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?

ÇÖZÜM 2:

log₂(x-4)-5≥0 aynı zamanda x-4>0 , x>4 olmalı.

(x-4)≥32

x≥36 olur o halde tanım aralığı [36,&) olur.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu escort bakırköy her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

Örnekler:

Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarını inceleyelim.

f(x)=x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.

f(x)=x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluştuğu için tek fonksiyondur

f(x)=x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.

f(x)=x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumunu inceleyelim. f(-x)=-x.|-x|=-f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

—————————————————————————————————————

SORU 1:

f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetriktir.

f(x)+3f(-x)=x³+x

ise f(2)=?

ÇÖZÜM 1:

Grafiğin orjine escort bayan bakırköy göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlarız.

f(-x)=-f(x) yazabliriz.

f(x)-3f(x)=x³+x

-2f(x)=x³+x

x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.

-2f(2)=10 ise f(2)=-5 bulunur.

—————————————————————————–

SORU 2:

f(x) fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.

f(x)-x².f(-x)=5x

ise f(4)=?

ÇÖZÜM 2:

Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çift fonksiyondur.

f(-x)=f(x) yazalım.

f(x)-x².f(x)=5x ise f(x)[1-x²]=5x olduğuna göre x=4 yazarsak,

f(4)=20/-15=-4/3 bulunur.

——————————————————————————-

SORU 3:

f(x)=(a-2)x³+x²+(4-b)x+3 fonksiyonu çift fonksiyon ise a.b=?

ÇÖZÜM 3:

Fonksiyon çift fonksiyon olduğuna göre, derecesi tek olan ifadelerin katsayılarını 0 yapmalıyız.

O halde a=2 ve b=4 olur. a.b=8 bulunur.

————————————————————————–

SORU 4:

f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere,

f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesinin eşiti nedir ?

ÇÖZÜM 4:

f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x) şeklindedir.

f(-5)=-f(5) =>f(5)=-3 olur.

g(-3)+g(-3)=2g(-3)=2.7=14 bulunur.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

SORU 1:

olduğuna göre f(2)+f(-1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

x=2 olması 2. ifadede 2 değerini yazacağımızı gösterir. f(2)=5.2³-4=40
x=-1 olması 1. ifadede -1 değerini yazacağımızı gösterir. f(-1)=3.(-1)³+2.(-1)+1=-4
40-4=36 bulunur.

—————————————————————————

SORU 2:

olduğuna göre f(3).f(4)-f(3) ifadesinin sonucu kaçtır ?

ÇÖZÜM 2:

f(3) ifadesinde x=3 değeri 1. ifadede 3 yazmamızı gerektirir, çünkü 3 mod3 de 0 kalanını verir. x yerine 3 yazarsak ifade 9 olur.
f(4) ifadesi için x=4 yazdığımızda mod 3 de 1 kalanını verir o halde 4²+1=17 olur.

9.17-9=144 bulunur.

——————————————————————————

SORU 3:

olduğuna göre fofof(1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

f(f(f(1))) ifadesi soruluyor.

f(1) için 1 tek olduğundan 2. de yerine yazarız. 1+3=4 olur.

f(4) için 4 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 4/2=2 olur.

f(2) için 2 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 2/2=1 olur.

f(2) son elde edeceğimiz sonuç olduğundan cevap 1 dir.

————————————————————————-

SORU 4:

fonksiyonu hangi değerler için tanımsızdır ?

ÇÖZÜM 4:

x²-16=0 olursa 1. ifade için tanımsız yapan değeri buluruz
x=±4 için tanımsızdır ancak 1. ifade için aralık x<-1 olduğundan -4 değerini alırız.

x-4≤0 olursa 2. ifade için tanımsız yapan değerler bulunur.
burada x=3,4 değerleri için tanımsızdır.

fonksiyon -4,3,4 değerleri olmak üzere 3 değer için tanımsızdır.

SORU 5:

olduğuna göre fofof(1) kaçtır ?

ÇÖZÜM 5:

f(f(f(1))) ifadesi soruluyor.

f(1) için 1 tek olduğundan 2. de yerine yazarız. 1+3=4 olur.

f(4) için 4 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 4/2=2 olur.

f(2) için 2 çift olduğundan 1. de yerine yazarız 2/2=1 olur.

f(2) son elde edeceğimiz sonuç olduğundan cevap 1 dir.

————————————————————————-

SORU 6:

fonksiyonu hangi değerler için tanımsızdır ?

ÇÖZÜM 6:

x²-16=0 olursa 1. ifade için tanımsız yapan değeri buluruz
x=±4 için tanımsızdır ancak 1. ifade için aralık x<-1 olduğundan -4 değerini alırız.

x-4≤0 olursa 2. ifade için tanımsız yapan değerler bulunur.
burada x=3,4 değerleri için tanımsızdır.

fonksiyon -4,3,4 değerleri olmak üzere 3 değer için tanımsızdır.

Örnek:7

Örnek:

ÇÖZÜM 7:

Not:Parçalı fonksiyonlarda her fonksiyon tanımlandığı aralıkta çizilir.

    f(x)=-x  fonksiyonu x<2  aralığında tanımlandığından 2den büyük kısmını sileriz. f(x)=-10  fonksiyonu   2 ve 2 den büyük aralıkta tanımlandığın için bu aralıktaki kısmını alırız.

Burada bulunan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Diziler Seriler Formüller

 DİZİLER

A boş olmayan bir küme olmak üzere, doğal sayıların bir alt kümesinden A’nın bir alt kümesine giden fonksiyonlara dizi denir. Eğer A, reel sayılar kümesi ise; bu diziye, reel sayılar dizisi denir.

Bir a dizisinin, n doğal sayısını götürdüğü değer, a_n ile ifade edilir ve bu dizi {a_n} şeklinde ifade edilir. Buradaki n sayısına dizinin indisi veya indeksi denir.

Bir dizinin, herhangi bir n doğal sayısı için değerine dizinin genel terimi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre, biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır.

Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

SONLU DİZİ

 Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için, a_n = b_n ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

SINIRLI DİZİLER

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, t ≤ a_n olacak biçimde bir t değeri varsa; {a_n} dizisine alttan sınırlı dizi, t değerine ise {a_n} dizisi için bir alt sınır denir.

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, a_n ≤ s olacak biçimde bir s değeri varsa; {a_n} dizisine üstten sınırlı dizi, s değerine ise {a_n} dizisi için bir üst sınır denir.

Alttan ve üstten sınırlı bir diziye sınırlı dizi denir. Alttan veya üstten sınırlı olmayan bir diziye ise sınırsız dizi denir.

Alttan sınırlı bir dizinin en büyük alt sınırına (EBAS), dizinin infimumu denir.

Üstten sınırlı bir dizinin en küçük üst sınırına (EKÜS), dizinin supremumu denir.

DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumuaşağıdaki şekilde incelenir:

1)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

Bu durumda,

a)ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

b)ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

c)ad – bc = 0 ise dizi sabit

2)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.

ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir. yani bir dizinin, elemanlarının sırasını bozmayacak biçimde bazı elemanlarını silerek ya da hiçbir elemanını silmeyerek elde edilen yeni diziye, o dizinin alt dizisi denir.

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir aritmetik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki farkı bilinen bir aritmetik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık terimlerinin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir geometrik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki oranı bilinen bir geometrik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e >0 olmak üzere, açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir. Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.
2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir. (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

SERİLER

Herhangi bir (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … “toplamına” seri denir.

Bir (x_n) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x₁+ x₂ + … + x_nifadesi sembolik olarak gibi yazılır. Buradaki Σ (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine başka indisin kullanılması sonucu etkilemez.
Şimdi (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … sonsuz “toplamına” seri denir.

Sigma gösterimi yardımı ile bu seri gibi gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için

serisinden yeni (s_n) dizisini elde edelim:

s₁ = x₁ , s₂ = x₁+ x₂ , s₃ = x₁+ x₂ + x₃ , … , s_n = x₁+ x₂ + … + x_n , …

Eğer (s_n) dizisi yakınsak olup limiti a ise

serisine yakınsak seri denir ve
=a

gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir.
Eğer (s_n) dizisi ıraksak ise

serisine ıraksak seri denir.

x₁ , x₂, … sayılarına serinin terimleri, x_n ye genel terimi, (s_n) dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir.
Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının “toplamı”, sonlu sayıdakilerin toplamlarının bir limiti olarak tanımlanmaktadır.

Burada bulunan Matematik Diziler Seriler Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]