Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Video

LYS Sınavına hazırlanan okuyucularımıza sınavlara çalışmalarında yardımcı olmak maksadı ile İnternette çeşitli platformlar altında yer alan ve matematik 2 diye tabir edilen alanda yer alan matematik Karmaşık Sayılar online ders anlatımı yapan gözde hocaların Karmaşık Sayılar konu anlatım videolarını siz değerli Eğitim-Dünyası okuyucuları için aralarından seçim yaparak konularına göre derleyerek aşağıya matematik Karmaşık Sayılar video konu anlatımlarını listeledik, Değerli okuyucumuz LYS için olan ve mat 2 konuları arasında yer alan online matematik Karmaşık Sayılar konu anlatımlarından istediğiniz hocayı seçerek onun anlattığı dersi izleyebilirsiniz. Ayrıca Videoların devamında da matematik Karmaşık Sayılar konusu ile ilgili yazılı anlatım ve genel Karmaşık Sayılar formülleri de eklenmiştir.
Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen yukarısında alt alta yer almaktadır.) Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Videolar

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Yazılı

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…

TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = √-1  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  √-1 = i } dir.

( i = √-1   Þ i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z₁ = 3 + 4i,  Z₂ = 2 – 3i,  Z₃ = √-1  + i, Z₄ = 7, Z₅ = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z₁ karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z₂ = 2 – 3i      Þ     Re(Z₂) = 2 ve İm(Z₂) = -3,

Z₃ =  √-1 + i    Þ    Re(Z₃) = √-1  ve İm(Z₃) = 1,

Z₄ =  7    Þ     Re(Z₄) = 7 ve İm(Z₄) = 0,

Z₅ = 10i     Þ     Re(Z₅) = 0 ve İm(Z₅) = 10 dur.

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve      ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı vex, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

A. i NİN KUVVETLERİ

olmak üzere,

i⁰ = 1 dir.

i¹ = i dir.

i² = –1 dir.

i³ = i² × i¹ = (–1) × i = –i dir.

i⁴ = i² × i² = (–1) × (–1) = 1 dir.

i⁵ = i⁴ × i¹ = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve  olmak üzere, z = a + bişeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.Karmaşık sayılar kümesi  ile gösterilir. Buna göre, z = a + bi karmaşık sayısında;a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.z = a + bi iseRe(z) = aİm(z) = bşeklinde gösterilir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir.

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i² = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir.

Buna göre,

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

Kural

Örnek:

1) Z₁ = 4 + 3i sayısının eşleniği Z₁ = 4 – 3i,

2) Z₂ = √2 – √3i sayısının eşleniği Z₂ = √2 + √3i,

3) Z₃ = -7i sayısının eşleniği Z₃ = 7i,

4) Z₄ = 12 sayısının eşleniği Z₄ = 12,

5) Z₅ = √3 – √2 sayısının eşleniği Z₅ = √3 – √2 dir.

Örnek: Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm: 3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

1. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
2. Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,dir.

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d) dir

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

z-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d) dir

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

z.w=a.c+a.di+b.ci+b.di²  , (i²=-1)

a.c+a.di+b.ci-b.d

(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

Kural

4. Bölme İşlemi

z₁ × (z₂)^–1 sayısına z₁ in z₂ ye bölümü denir ve Z₁/Z₂ biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z₁ = a + bi ve z₂ = c + di ise,

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z₁ ve z₂ birer karmaşık sayı olmak üzere,

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

|z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

Kural

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i² = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de  esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

Sonuç

Tanım

Kural

olmak üzere,Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda, arg(z . w) = arg(z) + arg (w)

Kural

olmak üzere,Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda, arg(z : w) = arg(z) – arg (w)

Kural

Sonuç

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

Sonuç

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = qkoşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r ×cis(q + a) olur. Bu durum,

v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

Uyarı

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zⁿ = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

Sonuç

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]