Matematik Matris Determinant Formüller

MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

Birim Matris

Kare matriste asal köşegen dışındaki bütün elemanları sıfır matrise birim matris denir. (Çarpma işlemine göre)

Bir Matrisin Devriği (Transpozesi)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir. Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

Kare Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

Aynı türden Ave B matrisleri ile 1 birim matrisi için:
AB = BA = 1 (birim matris) koşulunu sağlayan A ve B matrisleri varsa B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Bu durumda A’ da B’ nin tersidir. (B^-1=A)

Kural

Bir A karesel matrisin tersini bulmak için A nın ek matrisi bulunur. Sonuç A nın determinantına bölünür.

Bir matrisin tersinin olması için, matrisin karesel ve determinantının kesinlikle sıfırdan farklı olması gerekir.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

A-1.A =A.A-1 = ı (A-1)-1 = A (A-1)T = (AT)-1  (k.A)-1 = (1/k).A-1    (K∈R) (A.B)-1 = B-1.A-1

İki Matrisin Toplamı

Satır ve sütün sayısı eşit iki matris toplanırken karşılıklı elemanlar toplanır.

İki Matrisin Çarpımı

Ave B gibi iki matrisin çarpımlarının tanımlı olabilmesi için; A matrisinin sütun sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması gerekir.
[A]_m.n ise [B]_n.p olmalıdır. [A].[B] = [A.B]_m.p dir.

Çarpım Yapılırken;

1. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 1. sütun elemanları ile çarpılıp toplanır. Bu AB çarpım matrisinin birinci elemanıdır. (a₁₁)
2. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 2. sütun elemanları ile karşılıklı çarpılıp toplanarak çarpım matrisinden a₁₂ elemanı elde edilir.
3. Bu çarpım A marisinin bütün satırları B matrisinin bütün sütunları ile çarpılıp mx; türündeki yeni matis elde edilinceye kadar devam eder.

Sarrus Kuralı Yöntemi

3. mertebeden determinantın hesabı için geçerli bir kuraldır.

Determinant Nedir? Determinant Hesaplama

a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ sayıları için biçiminde verilen bir kalıba 2. mertebeden bir determinant denir.
Burada:
a₁₁, a₁₂ : Birinci satır
a₂₁, a₂₂ : İkinci satır
a₁₁, a₂₁ : Birinci sütun
a₁₂, a₂₂ : İkinci sütun

Determinant elemanlarını a_ij ile gösterisek,
i : Satır numarası,
j : Sütün numarasıdır.
Örneğin: a₃₄ elemanı 3. satır, 4. sütün elemanı olur.Determinantın AçılımıBir determinant herhangi bir satıra (veya sütüna) göre açılımı, o satır elemanlarının kofaktörleri ile çarpımlarınn topamına eşittir. Buna determinantın değeri denir.

i = 1,2,3,…,m ve j = 1,2,3,…,n olmak koşulu ile a_ij gerçel sayılarının meydana detirdiği tabloya, m x n türünde matris denir.
Matisler [], (), || sembolleri arasına elemanların yazılmasıyla belirtilirler.

Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

A=[aij]mxn matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.i. satıra göre determinant:|A| = ai1.|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + … + ain.Ain + ai2.Ai2 + … + ain.Ainj. sütuna göre determinant: |A| = a1j.A1j + a2j.A2j + … + anj.Anj

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik İntegral Formüller

Burada bulunan Matematik İntegral Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Türev Formüller

Burada bulunan Matematik Türev Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Limit ve Süreklilik Formüller

• x değişkeni a sayısına, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma deriz ve x ⇒ a^– şeklinde gösteririz.
• x değişkeni a sayısına, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma deriz ve x  ⇒ a⁺şeklinde gösteririz.
• x değişkeni bir a noktasına sağdan yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) = L biçiminde gösterilir.
• x değişkeni bir a noktasına soldan yaklaştığında bir limiti varsa buna fonksiyonun soldan limiti denir ve lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) = K biçiminde gösterilir.
• lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) = lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) ise lim_{x  ⇒ a} f(x) = L
• lim_{x  ⇒ a⁺}  f(x) ≠ lim_{x  ⇒ a^–}  f(x) ise limit yoktur

Limitin Özellikleri

• lim_{x  ⇒ a} f(x) = L₁ , lim_{x  ⇒ a} g(x) = L₂  ve L₁ , L₂ , c ∈R olmak üzere
• lim_{x  ⇒ a} c=c
• lim_{x  ⇒ a} (f(x)∓g(x)) = L₁ ∓ L₂
• lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = L₁ / L₂   L₂  ≠ 0
• lim_{x  ⇒ a} (c.f(x))=c.lim_{x  ⇒ a} f(x) = c.L₁
• lim_{x  ⇒ a} [f(x)]ⁿ = [lim_{x  ⇒ a} f(x)]ⁿ =(L₁)ⁿ
• lim_{x  ⇒ a} (f(x).g(x)) = L₁ . L₂
• lim_{x  ⇒ a} |f(x)| =|lim_{x  ⇒ a} f(x)| = |L₁|
• 
• lim_{x  ⇒ a} c^f(x) = c^{lim_{x  ⇒ a} f(x)} = (c)^L₁

NOT:

Sıkıştırma Teoremi

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

lim_{x  ⇒ a} f(x) = lim_{x  ⇒ a} g(x) = 1 ise

lim_{x  ⇒ a} h(x) =1 dir

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

• lim_{x  ⇒ a}  sin x = sin a   
• lim_{x  ⇒ a}  cos x= cos a 
• lim_{x  ⇒ a} tan x  = tan a   (cos a  ≠ 0)
• lim_{x  ⇒ a}  cot x = cot a   (sin a   ≠ 0)
• lim_{x  ⇒ 0} f(x) = [(sin ax)/(bx)] = a/b
• lim_{x  ⇒ 0} f(x) = [(tan ax)/(bx)] = a/b
• lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = [(sin x)/(x)] = lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = [(cos x)/(x)] = 0

 Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

Reel sayılar kümesine +∞ ve -∞ un katılmasıyla elde edilen kümeye genişletilmiş reel sayılar kümesi denir ve  ile gösterilir.

• Yani = R  ∪ {+∞ , -∞}  dur. Genişletilmiş reel sayılar kümesinde x  ⇒ ∓∞ için limitleri inceleriz.
  f(x) =a_nxⁿ +  a_n-1x^n-1 +  … a₁x¹ + a₀ polinom fonksiyonunda, lim_{x  ⇒ ∞} f(x) = lim_{x  ⇒ ∞}a_nxⁿ  dir
• a>1 ise     lim_{x  ⇒ ∞}a^x = ∞       lim_{x  ⇒ -∞}a^x = 0

• 0<a<1     lim_{x  ⇒ ∞}a^x = 0         lim_{x  ⇒ -∞}a^x = ∞

Belirsizlikler:

0/0 Belirsizliği

lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = 0/0   oluyorsa kesrin pay ve paydası (x-a) parantezine alınarak sadeleştirme yapılarak sonuç bulunur. Sadeleştirme yapılamıyorsa L’HOSPİTAL yöntemi kullanılır.

L’HOSPİTAL YÖNTEMİ

f:[a,b]⇒R ve g:[a,b]⇒R olmak üzere (a,b) aralığında sürekli ve türevlenebilen iki fonksiyon olsun.

lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) = 0/0  ise lim_{x  ⇒ a} (f(x)/g(x)) =lim_{x  ⇒ a} (f ‘(x)/g ‘(x)) = (f ‘(a)/g ‘(a))

lim_{x  ⇒ ∞} (f(x)/g(x)) = 0/0  ise lim_{x  ⇒ ∞} (f(x)/g(x)) =lim_{x  ⇒ ∞} (f ‘(x)/g ‘(x))

∞/∞ Belirsizliği

∞.0 Belirsizliği

Bu tür belirsizliklerde çarpanlardan birinin çarpmaya göre tersi alınarak 0/0  veya ∞/∞ belirsizliklerinden birine dönüştürülerek çözüm yapılır.

∞ – ∞ Belirsizliği

Burada bulunan Matematik Limit ve Süreklilik Çözümlü Sorular videolarından, sincan escort Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Formüller

A. BİR FONKSİYONUN TANIM KÜMESİ

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

En Geniş Tanım Aralığı

f:A→B olmak üzere,

1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.

2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.

3) ²ⁿ√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.

4) ²ⁿ⁺¹√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.

5) log_ab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.

6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri

f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.

f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.

*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

Burada bulunan Matematik Özel Tanımlı Fonksiyonlar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Diziler Seriler Formüller

 DİZİLER

A boş olmayan bir küme olmak üzere, doğal sayıların bir alt kümesinden A’nın bir alt kümesine giden fonksiyonlara dizi denir. Eğer A, reel sayılar kümesi ise; bu diziye, reel sayılar dizisi denir.

Bir a dizisinin, n doğal sayısını götürdüğü değer, a_n ile ifade edilir ve bu dizi {a_n} şeklinde ifade edilir. Buradaki n sayısına dizinin indisi veya indeksi denir.

Bir dizinin, herhangi bir n doğal sayısı için değerine dizinin genel terimi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre, biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır.

Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

SONLU DİZİ

 Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için, a_n = b_n ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

SINIRLI DİZİLER

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, t ≤ a_n olacak biçimde bir t değeri varsa; {a_n} dizisine alttan sınırlı dizi, t değerine ise {a_n} dizisi için bir alt sınır denir.

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, a_n ≤ s olacak biçimde bir s değeri varsa; {a_n} dizisine üstten sınırlı dizi, s değerine ise {a_n} dizisi için bir üst sınır denir.

Alttan ve üstten sınırlı bir diziye sınırlı dizi denir. Alttan veya üstten sınırlı olmayan bir diziye ise sınırsız dizi denir.

Alttan sınırlı bir dizinin en büyük alt sınırına (EBAS), dizinin infimumu denir.

Üstten sınırlı bir dizinin en küçük üst sınırına (EKÜS), dizinin supremumu denir.

DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumuaşağıdaki şekilde incelenir:

1)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

Bu durumda,

a)ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

b)ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

c)ad – bc = 0 ise dizi sabit

2)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.

ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir. yani bir dizinin, elemanlarının sırasını bozmayacak biçimde bazı elemanlarını silerek ya da hiçbir elemanını silmeyerek elde edilen yeni diziye, o dizinin alt dizisi denir.

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir aritmetik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki farkı bilinen bir aritmetik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık terimlerinin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir geometrik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki oranı bilinen bir geometrik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e >0 olmak üzere, açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir. Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.
2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir. (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

SERİLER

Herhangi bir (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … “toplamına” seri denir.

Bir (x_n) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x₁+ x₂ + … + x_nifadesi sembolik olarak gibi yazılır. Buradaki Σ (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine başka indisin kullanılması sonucu etkilemez.
Şimdi (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … sonsuz “toplamına” seri denir.

Sigma gösterimi yardımı ile bu seri gibi gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için

serisinden yeni (s_n) dizisini elde edelim:

s₁ = x₁ , s₂ = x₁+ x₂ , s₃ = x₁+ x₂ + x₃ , … , s_n = x₁+ x₂ + … + x_n , …

Eğer (s_n) dizisi yakınsak olup limiti a ise

serisine yakınsak seri denir ve
=a

gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir.
Eğer (s_n) dizisi ıraksak ise

serisine ıraksak seri denir.

x₁ , x₂, … sayılarına serinin terimleri, x_n ye genel terimi, (s_n) dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir.
Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının “toplamı”, sonlu sayıdakilerin toplamlarının bir limiti olarak tanımlanmaktadır.

Burada bulunan Matematik Diziler Seriler Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Formüller

Toplam sembolü ∑ ile gösterilir
f(k), k değişkenine bağlı bir fonksiyon olsun. f(k)=a_k, k bir tam sayı olsun.
a₁, a₂, a₃,…, a_n ifadelerinin her biri f(k) fonksiyonunun birer terimidir. Bu terimlerin toplamı

şeklinde gösterilir. Burada k değişkeninin alt sınır 1, üst sınırı n dir.

Çarpım Sembolü Konu Anlatımı
Toplam sembolü ∏ ile gösterilir
f(k), k değişkenine bağlı bir fonksiyon olsun. f(k)=a_k, k bir tam sayı olsun.
a₁, a₂, a₃,…, a_n ifadelerinin her biri f(k) fonksiyonunun birer terimidir. Bu terimlerin çarpımı

şeklinde gösterilir. Burada k değişkeninin alt sınır 1, üst sınırı n dir.

Toplam Sembolü Formülleri Özellikleri

Çarpım Sembolü Formülleri Özellikleri

Burada bulunan Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Karmaşık Sayılar Formüller

Karmaşık Sayılar, Özellikleri, Karmaşık Sayılarda İşlemler

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Logaritma Formüller

Özellikler:
1) logax=b ise x=ab 2) loga(A.B)=logaA+logaB 3) loga(A/B)=logaA−logaB 4) logaAn=n.logaA5) logamAn=(n/m).logaA6) log(an ) x=(1/n).logax 7) logax=(logbx)/(logba) [taban değiştirme]	8) alogax=x 9) loga=(1/n)logaA 10) log1/ax= −logax 11) logab.logbc.logcd=logad 12) logab=1/logba veya logab.logba=1

Kologaritma Nedir?

Bir y ∈ R⁺ sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasına y’in kologaritması denir.
Colog y=log1/y= −logy dir.

Ondalık Logaritma nedir?

Tabanı 10 olan logaritmaya ondalık yada bayağı logaritma denir.
log₁₀a=loga biçiminde gösterilir.

Doğal Logaritma nedir?

Tabanı e olan logaritmaya doğal logaritma denir.
log_ex=lnx biçiminde gösterilir.

Burada bulunan Matematik Logaritma Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Trigonometri Formüller

Tersler :

Tanjant ve cotanjant :

Pisagordan oluşanlar :

Tek ve çift fonksiyonlar :

sin(-x) = -sin x
cos(-x) = cos x
tan(-x) = -tan x
cot(-x) = -cot x
sec(-x) = sec x
csc(-x) = -csc x

Trigonometri formülleri 2

Tümler olan açıların özellikleri ( radyan ) :

Tümler olan açıların özellikleri ( derece ) :

Toplam fark formülleri

Trigonometrik değerleri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini hesaplamak için kullanılan formüllerdir. Bu formülleri şöyle sıralayabiliriz:

sin(α+β) = sin α.cos β + cos α.sin β
sin(α-β) = sin α.cos β – cos α.sin β

cos(α+β) = cos α.cos β – sin α.sin β
cos(α-β) = cos α.cos β + sin α.sin β

tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α . tan β)
tan(α-β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α . tan β)

cot(α+β) = (cot α . cot β – 1) / (cot α + cot β)
cot(α-β) = (cot α . cot β + 1) / (cot β – cot α)

 Trigonometrik dönüşüm formülleri

Dönüşüm formülleri trigonometride kullanılan, toplam durumundaki iki trigonometrik ifadeyi çarpım haline getirmeye yarar. Bu işlemin amacı bazı özel durumlarda işlem kolaylığı sağlamaktır.

Yarım açı formülleri :

sin 2x = 2 sinx .cosx
cos 2x = cos²x – sin²x = 1 – 2 sin²x = 2 cos²x – 1

Çarpım toplam dönüşümleri :

2 .cos A. cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
2 .sin A .sin B = -cos(A + B) + cos(A -B)
2 .sin A. cos B = sin(A + B) + sin(A -B)
2 .cos A .sin B = sin(A + B) – sin (A -B)

Euler Bağıntısı

Bu bağıntıyla iki matematiksel ifade olan i ve birbirine bağlanmış oldu, bu açıdan çok önemli bir ifadedir.

de Moivre Eşitliği

Euler bağıntısından da rahatlıkla görülebileceği gibi tümevarımla da ispatlanabilen bir eşitliktir.

Trigonometrik grafikler

Dar açıların trigonometrik oranları

Matematik Parabol Formüller

A. TANIM

olmak üzere,tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

r= (-b/2a)  ve k= f(r) = (4ac-b²)/4a dır.

bunlar biliniyorsa f(x) = a.(x−r)² + k parabol denklemi yazılabilir

Parabol  x= (-b/2a) doğrusuna göre simetriktir.

x= (-b/2a) doğrusu parabolün simetri eksenidir.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax² + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(0, c) dir.

ax² + bx + c = 0 denkleminde

• D = b² – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
• D = b² – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
• D = b² – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.

D. x² NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1)

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.

.a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜNDENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x₁) (x – x₂) … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)² + k … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y₁ = ax₁² + bx₁ + c … (1)

y₂ = ax₂² + bx₂ + c … (2)

y₃ = ax₃² + bx₃ + c … (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUNDÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m)x + c – n = 0 … (_*)

(_*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (_*) denkleminde;

•  D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
•   D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
•  D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

y = ax² + bx + c parabolü ile y = dx² + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

Burada bulunan Matematik Parabol Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]