Matematik İkinci Dereceden Eşitsizlikler Konu Anlatımı Yazılı

İkinci Dereceden Eşitsizlikler
ax²+bx+c>0 (ya da büyük eşit sıfır)
ax²+bx+c<0 (ya da küçük eşit sıfır) şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler deniyordur.Bu tür denklemlerin çözümünde ax²+bx+c ifadesinin işaretinin incelenmesi ,x in hangi değerler için negatif hangi değerleri için pozitif olduğunu belirlemek gerekiyordur.Bu çözümleme a nın işareti ile ax²+bx+c=0 denkleminin köklerine bağlıdır.

ax²+bx+c üç terimlisinin işaret incelemesi:ax²+bx+c ifadesinin işaret tablosu Δ=b²-4ac ‘nin durumuna göre incelenir. Var olan kökler tabloda küçükten büyüğe sıralanarak yazılır. Oluşturulan aralıkların işaretleri belirlendikten sonra eşitsizliğin yönüne göre istenilen aralık taranarak çözüm kümesi belirlenir.

a) Δ>0 ise; ax²+bx+c denkleminin x₁ ve x₂ gibi iki farklı gerçel kökü olsun. 

 

 

b) Δ=0 ise; ax²+bx+c denkleminin x₁=x₂ çakışık iki kökü vardır.

 

 

 

c) Δ<0 ise; ax²+bx+c denkleminin reel kökü yoktur.

 

 

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

f(x)= P(x).Q(x) / H(x) biçimindeki bir eşitsizliğin işareti incelenirken H(x)≠0 olmak üzere P(x), Q(x) ve H(x) polinomlarının kökleri ayrı ayrı bulunup tek bir tabloya yerleştirilir. Tabloda işareti belirlemek için yapılması gereken şöyledir:

• Önce bütün polinomların baş katsayılarının işaretine göre genel işaret belirlenir.
• Tablo oluşturulup daha önceden bulduğumuz bütün kökler küçükten büyüğe tabloya yerleştirilir.
• En son olarak tablonun sağından genel işaret ile işaretlemeye başlanır.
• Her kökte işaret değiştirilip sola doğru ilerlenir.
* Çift katlı köklerde ve mutlak değerin kökünde işaret değiştirmeden devam edilir.

Örnek:x²-3x+2>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
Önce x²-3x+2 denkleminin köklerini bulmak gerekir.
b²-4ac=(-3)²-4.1.2>0 olduğundan denklemin farklı iki kökü vardır
x1=3-1/2 ve x2=3+1/2 den x1=1 ve x2=2 bulunur.Buna göre işaret tablosu yapılarak kökler yerleştirilip , işaretler incelenerek çözüm kümesi yazılıyordur.
x,e 1 den küçük(x1<1) ya da 2 den büyük(x²>2) değerler verilirse x²-3x+2 ifadesi pozitif değer,x,e 1 ve 2 arasında(kökler arasında bir değer) verilirse x2-3x+2 ifadesi negatif bir değer alır buna göre;
Çözüm kümesi=Ç=(-sonsuz,1)U(2,+sonsuz) olur.

B)b²-4ac=0 ise denklemin tek kökü vardır(x=-b/2a) buna göre ax²+bx+c ifadesi a ile aynı işaretli olmuş olur
Örnek:-9x²+6x-1<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
b²-4ac=0 yani 36-4.(-9).(-1)=36-36=0 olduğunda denklemin kökü -b/2a dır buradan -6/2.(-9)=6/18=1/3 bulunur yani -9x²+6x-1 iafdesi x=1/3 noktasında sıfır değerini almaktadır diğer alanlarda negatif değerdedir (a ile aynı işaretli) Buna göre ;
Çözüm kümesi=Ç=IR-(1/3)=(-sonsuz,1/3)U(1/3,+sonsuz) olur.

C)b²-4ac<0 ise denklemin kökü yoktur.ax² +bx+c ifadesi a ile herzaman aynı işaretlidir tabloda .
Örnek:  x²–4x+5<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
b²-4ac<0=16-4.5=-4<0 olduğu için eşitsizlik a ile aynı işaretli olur a nın işareti pozitif olduğu için eşitsizlik tabloda daima pozitif değer alır Hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz .Bu nedenle eşitsizliğin Çözüm kümesi=O yani boş kümedir.

4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.

5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.

Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.

(x + 1)¹⁰⁰ = 0 ª x = – 1 çift katlı köktür.

(x – 1)⁹⁹ = 0 ª x = 1 tek katlı köktür.

Ü  çözüm kümesine;

P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,

Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.

Ü  çözüm kümesine;

P(x) = 0

Q(x) = 0

sağlayan x değerleri alınmaz.

Burada bulunan Matematik İkinci Dereceden Eşitsizlikler Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.) Matematik MUTLAK DEĞER Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik MUTLAK DEĞER Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik MUTLAK DEĞER canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik MUTLAK DEĞER Konu Anlatımı Yazılı 

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

• |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
• |x × y| = |x| × |y|
• |xⁿ| = |x|ⁿ
• y esit degildir 0 olmak üzere ,

• |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y| (£ = kucuk esittir)
• a ³ 0 ve x Î olmak üzere,(³ =buyuk esit ,  Î = elemanıdır)

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

• |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
• x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

      |x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

• x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

      K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

• a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

• a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

• a < b ve c Î olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

2. Yöntem

a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … (¶)

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

• Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = [–b, –a] dır.

• Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = Æ dir.

• Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç {–b – D, –a + D} olur.

Burada bulunan Matematik MUTLAK DEĞER Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]