Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Soru Çözüm videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Matematik Modüler Aritmetik Çözümlü Sorular Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Modüler Aritmetik soru çözümleri gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Modüler Aritmetik canlı çözümlü örneklerin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır.

Matematik Modüler Aritmetik Formüller

MODÜLER ARİTMETİK

a, b sıfırdan farklı tamsayılar ve b>0 olmak üzere, a sayısını b ye bölmek demek, a = m.b+k, 0≤k

Bazı tam sayıların 3 ile bölme işlemini inceleyelim.

Sonuç: 3 ile bölümden kalanların 0,1,2 tamsayılardan biri olduğu görülüyor. Demek ki bir sayı 3 ile bölündüğünde 0,1,2 kalanlarını verir. Aşağıdaki kümeyi inceleyelim:

Burada; bir kümedeki her elemanın 3 ile bölümünden kalanın aynı olduğu, her kümedeki iki elemanın farkının 3 ile bölündüğünü ve bu kümelerin ayrık olup, birleşimlerinin de Zyi verdiğini görüyoruz.

Bu kümelerin z de

bağıntısının denklik sınıfı oluşturduğunu biliyoruz.

nin anlamı x-y = 3m (m∈Z) dir. Bu durum x = y (mod 3) yazılır ve “x’ denktir y modül 3″ diye okunur.

biçiminde yazılır. Bu ifade x ile k nın aynı denklik sınıfında olduğunu gösterir. Bu denklik sınıfı k ile gösterilir ve

dir

Tanım: a ve k tam sayıları ve m> o tamsayısı verilsin.

a-k farkı m ile tam bölünüyorsa, m modülüne göre a, k ya denktir denir ve a ≡ k (mod m) yazılır.

Yani,

Örnek: 3 Ι11-2 olduğundan
11 ≡ 2 (mod 3)
5 Ι12-(-3) olduğundan 12 ≡ -3 (mod 5)
5 Ι(-17)-(13) olduğundan
-17 ≡ 13 (mod 5)
3 modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z/3,4 modülüne göre
Z/4, ……..m modülüne göre Z/m biçiminde gösterilir. bunlar,

Tanım:

Z/m kümesinin elemanlarına kalan sınıfları denir.

Uyarı: Z/m de toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özeliği vardır.

Örnek: x ≡ 3 (mod5) ise x sayılarının kümesini bulunuz.

x ≡ 3 (mod5) <=> 5I x-3 => x -3 = 5k, k∈ Z => x = 3 +5k olur.

x∈ {…….-7, -2, 3, 8, 13……} bulunur.

Teorem:

a,b,c tam sayıları ve m pozitif bir tamsayı olsun.

1) a ≡ a (modm)

2) a ≡ b (modm) ise b ≡ a (modm)

3) a ≡ b (modm) ve b ≡ c (modm) ise a ≡ c (modm) dir.

Teorem:

a,b,c, de Z ve m ∈ Z+ için

1) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm)

=> a±c =b±d (modm) dir.

2) a ≡ b (modm) ∧ c ≡ d (modm) => a.c ≡ b.d (modm) dir.

3) a ≡ b (modm) ise a^k = b^k(modm)

(k∈Z⁺)

4) pa ≡ pb (modm) p∈ Z

ÖRNEK:

****17 ≡ 2 (mod5) ve 28 ≡ 3(mod5) olduğundan

17+ 28 ≡ (2+3) (mod5) 45 ≡ 5 (mod5) 45 ≡ 0 (mod5)

O halde; mod(m) ye göre yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanırsa, çıkarılırsa ya da çarpılırsa, yine bir denklik elde edilir.

****73¹⁹⁹³ sayısının birler basamağındaki rakamı bulunuz.

Çözüm: Bir sayının birler basamağındaki rakam, sayının 10 ile bölümünden kalandır.
73¹⁹⁹³ = x (modl0) dan x sayısını bulalım.

73 ≡ 3 (mod 10)
732 ≡ 9 (mod 10)
733 ≡ 7 (mod 10)
734 ≡ 1 (mod 10)
(73⁴)⁴⁹⁸ ≡ (1)⁴⁹⁸ (mod 10)
73¹⁹⁹² ≡ 1 (mod 10)
73 ≡ 3 (mod 10)
73¹⁹⁹³ ≡ 3 (mod 10)

Öyleyse sayının birler basamağındaki rakam 3 dür.

Uyarı:

a) Sayı, 1’e denk oluncaya kadar kuvvetleri alınır, 1’e denk olan kuvvete üs bölünür. Kalan üs olarak alınır.

b) m asal sayı ise 1 eksiği yani (m-1) inci kuvvetle mutlaka 1 bulunur ve tekrar başlar.

c) aⁿ = x (modm) de m ile a aralarında asal değilse 1 bulunmaz. Tekrar başlayıncaya kadar teker teker incelenir.

Burada bulunan Matematik Modüler Aritmetik Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Videoların Yan tarafında mevcut olan hoca ların isimlerinin üstüne tıklayarak Konu ile ilgili istediğiniz Hocanın Ders Anlatım videolarını izleyebilirsiniz. (mobil olarak bağlanan okuyucularımız hocaların isimleri videonun hemen  yukarısında alt alta yer almaktadır.)Modüler Aritmetik Konu Anlatımı Videolar

Sitemizde Aşağıda yer alan Matematik Modüler Aritmetik Ders izle gibi birçok branş da Derslerin Konu anlatımları online ders izleyebileceğiniz şekilde çeşitli platformlardan derlenmiş bir şekilde bulunmaktadır. matematik Modüler Aritmetik canlı dersinin bulunduğu bu sayfamızın sonunda diğer ders ve branşlara ulaşabileceğiniz bağlantı adresleri de yer almaktadır. Eğitim-Dünyası.net olarak iyi dersler dileriz.

Matematik Modüler Aritmetik Konu Anlatımı Yazılı

Tanım: a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

ß = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denkliktir. ß denklik bağıntısı olduğundan, her (a, b) € ß için,

a ≡ b (mod m)  biçiminde yazılır ve ” m modülüne göre a sayısı b ‘ye denktir. ” denir.

• Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar;  0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1)  ‘dir.

Kritik Nokta: Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları;

olarak ifade edilebilir.  Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir. Buna göre;

Kritik Nokta: 

n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a ≡ b (mod m)
c ≡ d (mod m) olmak üzere,

1. a + c ≡ b + d (mod m)
2. a – c ≡ b – d (mod m)
3. a × c ≡ b × d (mod m)
4. an ≡ bn (mod m)
5. a – b ≡ 0 (mod m)
6. k × a ≡ k × b (mod m)
7. n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise 
8. a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, 

Kritik Nokta:  x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,   x^m–1 ≡ 1 (mod m)dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hali; m = a^k . b ^r . c ^p olmak üzere

m asal sayı ise,  (m – 1)! + 1 ≡ 0 (mod m) dir.

 Örnek :
–27’nin 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu ifade 27 ≡ 2 (mod 5) ile gösterilir.
–60’nın 10 ile bölümesinde kalan 0’dır. Bu ifade 60 ≡ 0 (mod 10) ile gösterilir.
–45’in 7 ile bölümünden elde edilen kalan 4’dür. Bu ifade -45 ≡ 4 (mod 7) ile gösterilir.

---

Özellikler :
1)

x ≡ k (mod m) x-k ≡ 0 (mod m)

}

→ Tam bölünür.

---

2) a,b,c,d ∈ Z ve m Z⁺-{1} olmak üzere

a ≡ b (mod m)
c ≡ d (mod m) ise

* a ± c ≡ b ± d (mod m)
* a.c ≡ b.d (mod m)

---

3) a ≡ b + k.m (mod m), k ∈ Z
4) k.a ≡ k.b (mod m),
5) aⁿ ≡ bⁿ (mod m) n ∈ N

---

NOT : a ≡ b (mod m) iken, a ve m asal sayı ise

a^m-1 ≡ 1(mod m)

Burada bulunan Matematik Modüler Aritmetik Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]