Matematik Matris Determinant Formüller

MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

Birim Matris

Kare matriste asal köşegen dışındaki bütün elemanları sıfır matrise birim matris denir. (Çarpma işlemine göre)

Bir Matrisin Devriği (Transpozesi)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir. Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

Kare Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

Aynı türden Ave B matrisleri ile 1 birim matrisi için:
AB = BA = 1 (birim matris) koşulunu sağlayan A ve B matrisleri varsa B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. Bu durumda A’ da B’ nin tersidir. (B^-1=A)

Kural

Bir A karesel matrisin tersini bulmak için A nın ek matrisi bulunur. Sonuç A nın determinantına bölünür.

Bir matrisin tersinin olması için, matrisin karesel ve determinantının kesinlikle sıfırdan farklı olması gerekir.

Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

A-1.A =A.A-1 = ı (A-1)-1 = A (A-1)T = (AT)-1  (k.A)-1 = (1/k).A-1    (K∈R) (A.B)-1 = B-1.A-1

İki Matrisin Toplamı

Satır ve sütün sayısı eşit iki matris toplanırken karşılıklı elemanlar toplanır.

İki Matrisin Çarpımı

Ave B gibi iki matrisin çarpımlarının tanımlı olabilmesi için; A matrisinin sütun sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması gerekir.
[A]_m.n ise [B]_n.p olmalıdır. [A].[B] = [A.B]_m.p dir.

Çarpım Yapılırken;

1. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 1. sütun elemanları ile çarpılıp toplanır. Bu AB çarpım matrisinin birinci elemanıdır. (a₁₁)
2. A’ nın 1. satırelemanları B’ nin 2. sütun elemanları ile karşılıklı çarpılıp toplanarak çarpım matrisinden a₁₂ elemanı elde edilir.
3. Bu çarpım A marisinin bütün satırları B matrisinin bütün sütunları ile çarpılıp mx; türündeki yeni matis elde edilinceye kadar devam eder.

Sarrus Kuralı Yöntemi

3. mertebeden determinantın hesabı için geçerli bir kuraldır.

Determinant Nedir? Determinant Hesaplama

a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ sayıları için biçiminde verilen bir kalıba 2. mertebeden bir determinant denir.
Burada:
a₁₁, a₁₂ : Birinci satır
a₂₁, a₂₂ : İkinci satır
a₁₁, a₂₁ : Birinci sütun
a₁₂, a₂₂ : İkinci sütun

Determinant elemanlarını a_ij ile gösterisek,
i : Satır numarası,
j : Sütün numarasıdır.
Örneğin: a₃₄ elemanı 3. satır, 4. sütün elemanı olur.Determinantın AçılımıBir determinant herhangi bir satıra (veya sütüna) göre açılımı, o satır elemanlarının kofaktörleri ile çarpımlarınn topamına eşittir. Buna determinantın değeri denir.

i = 1,2,3,…,m ve j = 1,2,3,…,n olmak koşulu ile a_ij gerçel sayılarının meydana detirdiği tabloya, m x n türünde matris denir.
Matisler [], (), || sembolleri arasına elemanların yazılmasıyla belirtilirler.

Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

A=[aij]mxn matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.i. satıra göre determinant:|A| = ai1.|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + … + ain.Ain + ai2.Ai2 + … + ain.Ainj. sütuna göre determinant: |A| = a1j.A1j + a2j.A2j + … + anj.Anj

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Matris Determinant Konu Anlatımı Yazılı

A. MATRİSİN TANIMI

i, j, m, n sayma sayıları; i ≤ m, j ≤ n ve her i, j için a_ij reel sayılar olmak üzere,

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde (m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.

Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

Burada a_ij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.

Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ

1. Sıfır Matrisi

Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare matrislerde satır veya sütun sayısına matrisin mertebesi adı verilir.

A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

A  kare matrisindeki a₁₁  a₂₂  a₃₃ a₄₄   terimlerinin oluşturduğu köşegene asal köşegen denir.

3. Birim Matris

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. örnekteki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ

Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)

Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.

Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.

A=[a_ij]_mxn  ise A^T = [a_ji]_nxm   olur.

E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI

Bir matrisi bir reel sayı ile çarpmak demek, matrisin bütün elemanlarını, o reel sayı ile çarpmak demektir. Yani; r bir reel sayı, A bir matris ve A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ijolmak üzere; r.A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman r.a_ij‘dir. Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

A=[a_ij]_mxn  ve c∈ R  ise  c.A = [c.a_ij]_mxn  olur

F. MATRİSLERİN TOPLAMI

Sadece aynı türden olan matrisler toplanabilir. Matrisleri toplarken karşılıklı elemanlar toplanır. Yani; A ve B, m x n türünde iki matris, A’nın i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij ve B’nin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman b_ij olmak üzere, A+B matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij+b_ij‘dir.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij + b_ij]_mxn  olur.

G. MATRİSLERİN FARKI

Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

A=[a_ij]_mxn

B= [b_ij]_mxn ise 

A – B =[a_ij – b_ij]_mxn  olur.

Özellik

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI

A ve B iki matris olmak üzere; A.B çarpım matrisi ancak ve ancak A matrisinin sütun sayısı Bmatrisinin satır sayısına eşit olduğunda vardır ve A.B matrisinin, satır sayısı, A’nın satır sayısına, sütun sayısı ise B’nin sütun sayısına eşittir.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.

Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ

A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

A⁰ = I
A¹ = A
A² = A.A
…
Aⁿ = A^n-1.A

Ayrıca,

(A^m)ⁿ = A^m.n   olur.

Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir. Iⁿ = I

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.Bu özel durumların başlıcaları şunlardır

Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:
Örnek:	Örnek:

J. MATRİSİN DETERMİNANTI

Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.

A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir. |A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

Örnek:

1.1 Sarrus Kuralı

A = [a_ij]_3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:

1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.

2. Köşegeni oluşturan a₁₁, a₂₂, a₃₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

3. Köşegenin hemen altındaki a₂₁, a₃₂, a₁₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

4. Aynı yaklaşımla a₃₁, a₁₂, a₂₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.

5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T₁ olsun

6. Diğer köşegeni oluşturan a₁₃, a₂₂, a₃₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

7. Diğer köşegenin hemen altındaki a₂₃, a₃₂, a₁₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

8. Aynı yaklaşımla a₃₃, a₁₂, a₂₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.

9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T₂ olsun,

10. A matrisinin determinantı: detA = T₁ – T₂ dir.

2.Minör

A bir kare matris, A matrisinin i’ninci satırının j’ninci sütunundaki eleman a_ij olsun. A matrisinin herhangi bir a_ij elemanının ait olduğu satır ve sütundaki elemanların silinmesi sonucu elde edilenmatrisin determinantına, a_ij elemanının minörü denir ve M_ij ile gösterilir.

3. İşaretli Minör (Kofaktör)

Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.

a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):A_ij = (-1)^i+j.M_ij

Kural

4. Determinantın Özellikleri

Özellik

Örnek:

Örnek:

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.

L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

A = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.

Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

|A| = (1/|A|).Ek(A)     (|A| ≠ 0)

Kural

Özellik

Burada bulunan Matematik Matris Determinant Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]