Matematik Logaritma Konu Anlatımı Yazılı

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

Bir sayının, taban denilen bir sayıya göre logaritması; tabanın o sayıya ulaşmak için ne kadar kuvveti alınması gerektiğini gösteren sayıdır. Örneğin 1000 sayısının 10 tabanına göre logaritması 3’tür: Çünkü 10’u 3 kez kendisiyle çarparak 1000’e ulaşılır.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

dir.

y = log_ax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

1) log₂ 8 = y   =>   8= 2^y    =>    y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3   =>    64 = a³    =>    a = 4 tür.

3) log_a a = x   =>    a = a^x    =>    x = 1 dir.

4) log_a 1 = n   =>    1 = aⁿ    =>    n = 0 dır.

5) log₅ (-25) v= m   =>    -25 = 5^m    =>    m elamanı değil R dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0   =>     log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1   =>     log₂ x = 3¹    =>     x = 2³ = 8 dir.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

Kural

Kural

Kural

Kural

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU (Bayağı Logaritma )

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir. ve ayrıca Bayağı Logaritma diyede adlandırılır

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir. 0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

F.LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR⁺-{1} ve xR⁺ olmak üzere,

f(x) = log_a x        f ^-1 (x) = a^x      tir.

Örnek:

f(x) = log₅x    f ^–1 (x) = 5^x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2log₅ x        x = 2.log₅ f ^–1 (x)

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem, logaf(x) = b ise f(x) = ab dir. logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0         log₂ (x-1) > 3⁰ = 1

x-1 > 2¹

x > 3 tür.

Örnek:

log₂(x-3)<4         0 < x-3 <2⁴

3<x<19 dur.

Örnek:

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

grafikleri elde edilir. Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonların tersi olduğuna göre logaritma fonksiyonu da birebir ve örten fonksiyondur; çünkü logaritma fonksiyonunun tersi de üstel bir fonksiyondur. O halde, logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi tanım kümesindeki bütün elemanlar için ya artan ya da azanaln bir eğilim gösterir. Bir fonksiyonun ile bu fonksiyonunun ters fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetrik olalcağını biliyoruz.
O halde, y=log_ax fonksiyonunun grafiği y=a^x fonksiyonunun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetiği olan grafiktir.

Not:

y = log_a (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x₀ ve x₁ değerleri bulunur. Grafik, (x₀,0) ve (x₁,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log₂ (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log₂ (x-1) = 0  Þ x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Þ x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301   olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (2³.10²) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)⁴⁰ sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

Log (40)⁴⁰ = 40. log(40)

= 40. (log 2².10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR⁺ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

tir.

Örnek:

log x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Burada bulunan Matematik Logaritma Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]