Matematik Diziler Seriler Formüller

 DİZİLER

A boş olmayan bir küme olmak üzere, doğal sayıların bir alt kümesinden A’nın bir alt kümesine giden fonksiyonlara dizi denir. Eğer A, reel sayılar kümesi ise; bu diziye, reel sayılar dizisi denir.

Bir a dizisinin, n doğal sayısını götürdüğü değer, a_n ile ifade edilir ve bu dizi {a_n} şeklinde ifade edilir. Buradaki n sayısına dizinin indisi veya indeksi denir.

Bir dizinin, herhangi bir n doğal sayısı için değerine dizinin genel terimi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre, biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır.

Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

SONLU DİZİ

 Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için, a_n = b_n ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

SINIRLI DİZİLER

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, t ≤ a_n olacak biçimde bir t değeri varsa; {a_n} dizisine alttan sınırlı dizi, t değerine ise {a_n} dizisi için bir alt sınır denir.

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, a_n ≤ s olacak biçimde bir s değeri varsa; {a_n} dizisine üstten sınırlı dizi, s değerine ise {a_n} dizisi için bir üst sınır denir.

Alttan ve üstten sınırlı bir diziye sınırlı dizi denir. Alttan veya üstten sınırlı olmayan bir diziye ise sınırsız dizi denir.

Alttan sınırlı bir dizinin en büyük alt sınırına (EBAS), dizinin infimumu denir.

Üstten sınırlı bir dizinin en küçük üst sınırına (EKÜS), dizinin supremumu denir.

DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumuaşağıdaki şekilde incelenir:

1)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

Bu durumda,

a)ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

b)ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

c)ad – bc = 0 ise dizi sabit

2)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.

ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir. yani bir dizinin, elemanlarının sırasını bozmayacak biçimde bazı elemanlarını silerek ya da hiçbir elemanını silmeyerek elde edilen yeni diziye, o dizinin alt dizisi denir.

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir aritmetik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki farkı bilinen bir aritmetik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık terimlerinin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir geometrik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki oranı bilinen bir geometrik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e >0 olmak üzere, açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir. Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.
2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir. (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

SERİLER

Herhangi bir (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … “toplamına” seri denir.

Bir (x_n) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x₁+ x₂ + … + x_nifadesi sembolik olarak gibi yazılır. Buradaki Σ (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine başka indisin kullanılması sonucu etkilemez.
Şimdi (x_n) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını “toplayalım”. x₁+ x₂ + … + x_n + … sonsuz “toplamına” seri denir.

Sigma gösterimi yardımı ile bu seri gibi gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için

serisinden yeni (s_n) dizisini elde edelim:

s₁ = x₁ , s₂ = x₁+ x₂ , s₃ = x₁+ x₂ + x₃ , … , s_n = x₁+ x₂ + … + x_n , …

Eğer (s_n) dizisi yakınsak olup limiti a ise

serisine yakınsak seri denir ve
=a

gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir.
Eğer (s_n) dizisi ıraksak ise

serisine ıraksak seri denir.

x₁ , x₂, … sayılarına serinin terimleri, x_n ye genel terimi, (s_n) dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir.
Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının “toplamı”, sonlu sayıdakilerin toplamlarının bir limiti olarak tanımlanmaktadır.

Burada bulunan Matematik Diziler Seriler Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Diziler ve Seriler Konu Anlatımı Yazılı

DİZİLER

A boş olmayan bir küme olmak üzere, doğal sayıların bir alt kümesinden A’nın bir alt kümesine giden fonksiyonlara dizi denir. Eğer A, reel sayılar kümesi ise; bu diziye, reel sayılar dizisi denir.

Bir a dizisinin, n doğal sayısını götürdüğü değer, a_n ile ifade edilir ve bu dizi {a_n} şeklinde ifade edilir. Buradaki n sayısına dizinin indisi veya indeksi denir.

Bir dizinin, herhangi bir n doğal sayısı için değerine dizinin genel terimi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre, biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır.

Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

SONLU DİZİ

 Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için, a_n = b_n ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

SINIRLI DİZİLER

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, t ≤ a_n olacak biçimde bir t değeri varsa; {a_n} dizisine alttan sınırlı dizi, t değerine ise {a_n} dizisi için bir alt sınır denir.

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, a_n ≤ s olacak biçimde bir s değeri varsa; {a_n} dizisine üstten sınırlı dizi, s değerine ise {a_n} dizisi için bir üst sınır denir.

Alttan ve üstten sınırlı bir diziye sınırlı dizi denir. Alttan veya üstten sınırlı olmayan bir diziye ise sınırsız dizi denir.

Alttan sınırlı bir dizinin en büyük alt sınırına (EBAS), dizinin infimumu denir.

Üstten sınırlı bir dizinin en küçük üst sınırına (EKÜS), dizinin supremumu denir.

DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumuaşağıdaki şekilde incelenir:

1)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

Bu durumda,

a)ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

b)ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

c)ad – bc = 0 ise dizi sabit

2)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.

ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir. yani bir dizinin, elemanlarının sırasını bozmayacak biçimde bazı elemanlarını silerek ya da hiçbir elemanını silmeyerek elde edilen yeni diziye, o dizinin alt dizisi denir.

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir aritmetik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki farkı bilinen bir aritmetik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık terimlerinin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir geometrik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki oranı bilinen bir geometrik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e >0 olmak üzere, açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir. Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.
2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir. (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

Örnek

(a_n) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

a_n+1 – a_n = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (a_n), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

Örnek

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı:

Örnek

– 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin (bilgi yelpazesi.net) toplamı S_n ile gösterilirse,

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,

Örnek

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a₃=ve a₅ =(a3.a₇)^1/2          6(3.a₇)^1/2               36=3.a₇ a₇=12

Sonuç:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan (bilgi yelpazesi.net) geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

SERİLER

Bu ders notumuzda bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Seriler konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

Tanım

(an) reel terimli bir dizi olmak üzere, sonsuz toplamına seri denir.an ye serinin genel terimi denir.

Serinin ilk n teriminin toplamı olan, ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.

Kural

Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.

Tanım

Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.1. (Sn) dizisi ıraksak ise serisi de ıraksaktır.2. (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır.

Kural

1. serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır. 2. lim(an) = 0 iken yakınsak olmayabilir.3. lim(an) ¹ 0 iken ıraksaktır.

B. ARİTMETİK SERİLER

(a_n) dizisi bir aritmetik dizi ise,

serisine aritmetik seri denir.

Aritmetik serinin n. kismî toplamı:

C. GEOMETRİK SERİLER

(a_n) dizisi bir geometrik dizi ise,

serisine geometrik seri denir.

geometrik serisinin n. kismî toplamı:

Kural

geometrik serisinde; |r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.|r| < 1 ise seri yakınsaktır.Yakınsak ise, serinin toplamı:

Örnek

(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

olduğuna göre (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

Burada bulunan Matematik Diziler ve Seriler Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Formüller

Toplam sembolü ∑ ile gösterilir
f(k), k değişkenine bağlı bir fonksiyon olsun. f(k)=a_k, k bir tam sayı olsun.
a₁, a₂, a₃,…, a_n ifadelerinin her biri f(k) fonksiyonunun birer terimidir. Bu terimlerin toplamı

şeklinde gösterilir. Burada k değişkeninin alt sınır 1, üst sınırı n dir.

Çarpım Sembolü Konu Anlatımı
Toplam sembolü ∏ ile gösterilir
f(k), k değişkenine bağlı bir fonksiyon olsun. f(k)=a_k, k bir tam sayı olsun.
a₁, a₂, a₃,…, a_n ifadelerinin her biri f(k) fonksiyonunun birer terimidir. Bu terimlerin çarpımı

şeklinde gösterilir. Burada k değişkeninin alt sınır 1, üst sınırı n dir.

Toplam Sembolü Formülleri Özellikleri

Çarpım Sembolü Formülleri Özellikleri

Burada bulunan Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Konu Anlatımı Yazılı

 TOPLAM SEMBOLÜ

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, r £ n olmak üzere,

olsun. Bu düşünce ile oluşturulan

terimlerinin toplamını,

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar a_k sayılarının toplamı” biçiminde okunur.

Bu gösterimde kullandığımız (sigma) harfine toplam sembolü denir.

Kural

C. TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Özellik

Özellik

Özellik

Kural

ÖRNEK 1:

Toplam fonksiyonu bize -9’dan 10’a kadar k’ya değer verip toplamamızı istiyor.

ÖRNEK 2:

ÇÖZÜM 2:
Toplam sembolunun parçalama özelliğini kullanarak çözelim.

ÇARPIM SEMBOLÜ

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, olmak üzere,

terimlerinin çarpımını,

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar a_k sayılarının çarpımı” biçiminde okunur.

B. ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Kural

Kural

Kural

Özellik

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM 1

ÖRNEK 2:

ÇÖZÜM 2:

Burada bulunan Matematik Toplam Çarpım Sembolleri (Tümevarım) Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Karmaşık Sayılar Formüller

Karmaşık Sayılar, Özellikleri, Karmaşık Sayılarda İşlemler

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı Yazılı

 ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…

TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = √-1  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  √-1 = i } dir.

( i = √-1   Þ i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek:

Z₁ = 3 + 4i,  Z₂ = 2 – 3i,  Z₃ = √-1  + i, Z₄ = 7, Z₅ = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z₁ karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z₂ = 2 – 3i      Þ     Re(Z₂) = 2 ve İm(Z₂) = -3,

Z₃ =  √-1 + i    Þ    Re(Z₃) = √-1  ve İm(Z₃) = 1,

Z₄ =  7    Þ     Re(Z₄) = 7 ve İm(Z₄) = 0,

Z₅ = 10i     Þ     Re(Z₅) = 0 ve İm(Z₅) = 10 dur.

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve      ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı vex, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

A. i NİN KUVVETLERİ

olmak üzere,

i⁰ = 1 dir.

i¹ = i dir.

i² = –1 dir.

i³ = i² × i¹ = (–1) × i = –i dir.

i⁴ = i² × i² = (–1) × (–1) = 1 dir.

i⁵ = i⁴ × i¹ = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve  olmak üzere, z = a + bişeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.Karmaşık sayılar kümesi  ile gösterilir. Buna göre, z = a + bi karmaşık sayısında;a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.z = a + bi iseRe(z) = aİm(z) = bşeklinde gösterilir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir.

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i² = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir.

Buna göre,

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

Kural

Örnek:

1) Z₁ = 4 + 3i sayısının eşleniği Z₁ = 4 – 3i,

2) Z₂ = √2 – √3i sayısının eşleniği Z₂ = √2 + √3i,

3) Z₃ = -7i sayısının eşleniği Z₃ = 7i,

4) Z₄ = 12 sayısının eşleniği Z₄ = 12,

5) Z₅ = √3 – √2 sayısının eşleniği Z₅ = √3 – √2 dir.

Örnek: Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm: 3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

1. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
2. Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,dir.

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d) dir

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

z-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d) dir

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i² = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

z.w=a.c+a.di+b.ci+b.di²  , (i²=-1)

a.c+a.di+b.ci-b.d

(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

Kural

4. Bölme İşlemi

z₁ × (z₂)^–1 sayısına z₁ in z₂ ye bölümü denir ve Z₁/Z₂ biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z₁ = a + bi ve z₂ = c + di ise,

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z₁ ve z₂ birer karmaşık sayı olmak üzere,

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

|z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

Kural

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i² = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de  esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

Sonuç

Tanım

Kural

olmak üzere,Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda, arg(z . w) = arg(z) + arg (w)

Kural

olmak üzere,Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda, arg(z : w) = arg(z) – arg (w)

Kural

Sonuç

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır.

Sonuç

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = qkoşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r ×cis(q + a) olur. Bu durum,

v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

Uyarı

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zⁿ = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

Sonuç

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.

Burada bulunan Matematik Karmaşık Sayılar Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Logaritma Formüller

Özellikler:
1) logax=b ise x=ab 2) loga(A.B)=logaA+logaB 3) loga(A/B)=logaA−logaB 4) logaAn=n.logaA5) logamAn=(n/m).logaA6) log(an ) x=(1/n).logax 7) logax=(logbx)/(logba) [taban değiştirme]	8) alogax=x 9) loga=(1/n)logaA 10) log1/ax= −logax 11) logab.logbc.logcd=logad 12) logab=1/logba veya logab.logba=1

Kologaritma Nedir?

Bir y ∈ R⁺ sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasına y’in kologaritması denir.
Colog y=log1/y= −logy dir.

Ondalık Logaritma nedir?

Tabanı 10 olan logaritmaya ondalık yada bayağı logaritma denir.
log₁₀a=loga biçiminde gösterilir.

Doğal Logaritma nedir?

Tabanı e olan logaritmaya doğal logaritma denir.
log_ex=lnx biçiminde gösterilir.

Burada bulunan Matematik Logaritma Çözümlü Sorular videolarından, Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizide yorum alanından bize iletebilirsiniz.

[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Logaritma Konu Anlatımı Yazılı

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

2^y = 2⁴ eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6^a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

Bir sayının, taban denilen bir sayıya göre logaritması; tabanın o sayıya ulaşmak için ne kadar kuvveti alınması gerektiğini gösteren sayıdır. Örneğin 1000 sayısının 10 tabanına göre logaritması 3’tür: Çünkü 10’u 3 kez kendisiyle çarparak 1000’e ulaşılır.

A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = a^x > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

dir.

y = log_ax ifadesinde sayısına sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

1) log₂ 8 = y   =>   8= 2^y    =>    y = 3 tür.

2) log_a 64 = 3   =>    64 = a³    =>    a = 4 tür.

3) log_a a = x   =>    a = a^x    =>    x = 1 dir.

4) log_a 1 = n   =>    1 = aⁿ    =>    n = 0 dır.

5) log₅ (-25) v= m   =>    -25 = 5^m    =>    m elamanı değil R dir.

Sonuç olarak:

1) log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)y = log_a f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0   =>     log₃ (log₂ x ) = 5⁰ = 1   =>     log₂ x = 3¹    =>     x = 2³ = 8 dir.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

Kural

Kural

Kural

Kural

D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU (Bayağı Logaritma )

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir. ve ayrıca Bayağı Logaritma diyede adlandırılır

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir. 0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

F.LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR⁺-{1} ve xR⁺ olmak üzere,

f(x) = log_a x        f ^-1 (x) = a^x      tir.

Örnek:

f(x) = log₅x    f ^–1 (x) = 5^x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2log₅ x        x = 2.log₅ f ^–1 (x)

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem, logaf(x) = b ise f(x) = ab dir. logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0         log₂ (x-1) > 3⁰ = 1

x-1 > 2¹

x > 3 tür.

Örnek:

log₂(x-3)<4         0 < x-3 <2⁴

3<x<19 dur.

Örnek:

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

grafikleri elde edilir. Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonların tersi olduğuna göre logaritma fonksiyonu da birebir ve örten fonksiyondur; çünkü logaritma fonksiyonunun tersi de üstel bir fonksiyondur. O halde, logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi tanım kümesindeki bütün elemanlar için ya artan ya da azanaln bir eğilim gösterir. Bir fonksiyonun ile bu fonksiyonunun ters fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetrik olalcağını biliyoruz.
O halde, y=log_ax fonksiyonunun grafiği y=a^x fonksiyonunun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetiği olan grafiktir.

Not:

y = log_a (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x₀ ve x₁ değerleri bulunur. Grafik, (x₀,0) ve (x₁,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log₂ (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log₂ (x-1) = 0  Þ x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Þ x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301   olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (2³.10²) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)⁴⁰ sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

Log (40)⁴⁰ = 40. log(40)

= 40. (log 2².10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR⁺ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

tir.

Örnek:

log x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Burada bulunan Matematik Logaritma Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]