Matematik Diziler ve Seriler Konu Anlatımı Yazılı

DİZİLER

A boş olmayan bir küme olmak üzere, doğal sayıların bir alt kümesinden A’nın bir alt kümesine giden fonksiyonlara dizi denir. Eğer A, reel sayılar kümesi ise; bu diziye, reel sayılar dizisi denir.

Bir a dizisinin, n doğal sayısını götürdüğü değer, a_n ile ifade edilir ve bu dizi {a_n} şeklinde ifade edilir. Buradaki n sayısına dizinin indisi veya indeksi denir.

Bir dizinin, herhangi bir n doğal sayısı için değerine dizinin genel terimi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre, biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır.

Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

SONLU DİZİ

 Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için, a_n = b_n ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

SINIRLI DİZİLER

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, t ≤ a_n olacak biçimde bir t değeri varsa; {a_n} dizisine alttan sınırlı dizi, t değerine ise {a_n} dizisi için bir alt sınır denir.

Bir {a_n} dizisinin tanım kümesindeki her n doğal sayısı için, a_n ≤ s olacak biçimde bir s değeri varsa; {a_n} dizisine üstten sınırlı dizi, s değerine ise {a_n} dizisi için bir üst sınır denir.

Alttan ve üstten sınırlı bir diziye sınırlı dizi denir. Alttan veya üstten sınırlı olmayan bir diziye ise sınırsız dizi denir.

Alttan sınırlı bir dizinin en büyük alt sınırına (EBAS), dizinin infimumu denir.

Üstten sınırlı bir dizinin en küçük üst sınırına (EKÜS), dizinin supremumu denir.

DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumuaşağıdaki şekilde incelenir:

1)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.

Bu durumda,

a)ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.

b)ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.

c)ad – bc = 0 ise dizi sabit

2)Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.

ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun. (k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir. yani bir dizinin, elemanlarının sırasını bozmayacak biçimde bazı elemanlarını silerek ya da hiçbir elemanını silmeyerek elde edilen yeni diziye, o dizinin alt dizisi denir.

ARİTMETİK DİZİ

Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir aritmetik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki farkı bilinen bir aritmetik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

GEOMETRİK DİZİ

Ardışık terimlerinin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Yani; c sabit bir reel sayı olmak üzere, her n doğal sayısı için {a_n} dizisi, koşulunu sağlıyorsa {a_n} dizisi, bir geometrik dizidir.

İlk terimi, ve ardışık terimleri arasındaki oranı bilinen bir geometrik dizinin genel terimi, formülü ile bulunabilir.

DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e >0 olmak üzere, açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir. Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.
2. (a_n) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir. (a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

Örnek

(a_n) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

a_n+1 – a_n = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (a_n), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

Örnek

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı:

Örnek

– 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin (bilgi yelpazesi.net) toplamı S_n ile gösterilirse,

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,

Örnek

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a₃=ve a₅ =(a3.a₇)^1/2          6(3.a₇)^1/2               36=3.a₇ a₇=12

Sonuç:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan (bilgi yelpazesi.net) geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

SERİLER

Bu ders notumuzda bir çok sınavda karşımıza çıkan Matematik Seriler konusunun geniş konu anlatımını, konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

Tanım

(an) reel terimli bir dizi olmak üzere, sonsuz toplamına seri denir.an ye serinin genel terimi denir.

Serinin ilk n teriminin toplamı olan, ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.

Kural

Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.

Tanım

Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.1. (Sn) dizisi ıraksak ise serisi de ıraksaktır.2. (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır.

Kural

1. serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır. 2. lim(an) = 0 iken yakınsak olmayabilir.3. lim(an) ¹ 0 iken ıraksaktır.

B. ARİTMETİK SERİLER

(a_n) dizisi bir aritmetik dizi ise,

serisine aritmetik seri denir.

Aritmetik serinin n. kismî toplamı:

C. GEOMETRİK SERİLER

(a_n) dizisi bir geometrik dizi ise,

serisine geometrik seri denir.

geometrik serisinin n. kismî toplamı:

Kural

geometrik serisinde; |r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.|r| < 1 ise seri yakınsaktır.Yakınsak ise, serinin toplamı:

Örnek

(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

olduğuna göre (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (S_n) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

Burada bulunan Matematik Diziler ve Seriler Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]

Matematik Toplam Çarpım Sembolleri Konu Anlatımı Yazılı

 TOPLAM SEMBOLÜ

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, r £ n olmak üzere,

olsun. Bu düşünce ile oluşturulan

terimlerinin toplamını,

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar a_k sayılarının toplamı” biçiminde okunur.

Bu gösterimde kullandığımız (sigma) harfine toplam sembolü denir.

Kural

C. TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Özellik

Özellik

Özellik

Kural

ÖRNEK 1:

Toplam fonksiyonu bize -9’dan 10’a kadar k’ya değer verip toplamamızı istiyor.

ÖRNEK 2:

ÇÖZÜM 2:
Toplam sembolunun parçalama özelliğini kullanarak çözelim.

ÇARPIM SEMBOLÜ

A. TANIM

r ile n birer tam sayı, olmak üzere,

terimlerinin çarpımını,

biçiminde gösteririz. ifadesi “k eşittir r den n ye kadar a_k sayılarının çarpımı” biçiminde okunur.

B. ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ

Kural

Kural

Kural

Özellik

ÖRNEK 1

ÇÖZÜM 1

ÖRNEK 2:

ÇÖZÜM 2:

Burada bulunan Matematik Toplam Çarpım Sembolleri (Tümevarım) Ders izle videolarından Açılmayan Video Dersler veya Eklenmesini istediğiniz video dersler var ise Lütfen yorum alanından bildiriniz. Ayrıca dersler ve ders anlatanlar hakkındaki soru, görüş ve önerilerinizi de yorum alanından bize iletebilirsiniz.
[egit1]
[egit2]
[egit3]